Matrice ortogonale

Le matrici ortogonali rivestono un ruolo da protagonista non solo in Algebra Lineare; esse infatti formano un gruppo, il cosiddetto Gruppo Ortogonale ed alcune di esse definiscono due tra le principali isometrie.

 

Inoltre le proprietà di cui godono le matrici ortogonali sono molteplici e le analizzeremo tutte a breve. Partiamo però dalla definizione...

 

 

Definizione ed esempi sulla matrice ortogonale

 

Una generica matrice a coefficienti in un campo \mathbb{K} si dice ortogonale se dal prodotto con la sua matrice trasposta si ottiene la matrice identità. Ossia, supponendo che A sia una matrice quadrata di ordine n, indicando con I_n la matrice identica (dello stesso ordine della matrice A) abbiamo che:

 

A \mbox{ ortogonale } \iff A^{T} A = A A^T = I_n

 

Sappiamo che, in generale, il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativaPer stabilire, utilizzando la definizione, se una matrice A è ortogonale basta scrivere la matrice trasposta A^T e calcolare il prodotto riga per colonna

 

A^T A \mbox{ oppure } A A^T

 

Se procedendo in questo modo otteniamo la matrice identità (in uno qualunque dei due casi) la matrice A è ortogonale.

 

Esempi di matrici ortogonali

 

1) Ogni matrice identità, di qualsiasi ordine, è una matrice ortogonale. Non è difficile convincersene; basta infatti osservare che la matrice identica è una matrice simmetrica (ossia coincide con la sua trasposta) e che I_n I_n=I_n.

 

 

2) A=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & & \frac{2}{3} & & \frac{2}{3} \\ \\ \frac{2}{3} & & \frac{1}{3} & & -\frac{2}{3} \\ \\ -\frac{2}{3} & & \frac{2}{3} & & -\frac{1}{3}  \end{pmatrix}

 

è una matrice ortogonale. Infatti la sua trasposta è

 

A^T=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & & \frac{2}{3} & & -\frac{2}{3} \\ \\ \frac{2}{3} & & \frac{1}{3} & & \frac{2}{3} \\ \\ \frac{2}{3} & & -\frac{2}{3} & & -\frac{1}{3}  \end{pmatrix}

 

Calcoliamo ora il prodotto tra A e la sua trasposta

 

A A^T= \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & & \frac{2}{3} & & \frac{2}{3} \\ \\ \frac{2}{3} & & \frac{1}{3} & & -\frac{2}{3} \\ \\ -\frac{2}{3} & & \frac{2}{3} & & -\frac{1}{3}  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & & \frac{2}{3} & & -\frac{2}{3} \\ \\ \frac{2}{3} & & \frac{1}{3} & & \frac{2}{3} \\ \\ \frac{2}{3} & & -\frac{2}{3} & & -\frac{1}{3}\end{pmatrix}=

 

=\begin{pmatrix}\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9} & & \frac{2}{9}+\frac{2}{9}-\frac{4}{9} & & -\frac{2}{9}+\frac{4}{9}-\frac{2}{9} \\ \\ \frac{2}{9}+\frac{2}{9}-\frac{4}{9} & & \frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9} & & -\frac{4}{9}+\frac{2}{9}+\frac{2}{9} \\ \\ -\frac{2}{9}+\frac{4}{9}-\frac{2}{9} & & -\frac{4}{9}+\frac{2}{9}+\frac{2}{9} & & \frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & & 0 & & 0 \\ \\ \0 & & 1 & & 0 \\ \\ 0 & & 0 & & 1 \end{pmatrix}

 

Dal momento che abbiamo ottenuto la matrice identica possiamo concludere che la matrice A è effettivamente una matrice ortogonale.

 

 

Esprimiamo ora la definizione di matrice ortogonale in termini matematici. Sia

 

A \in \mathbb{K}^{n,n}, \ A=(a_{ij})_{\begin{matrix}1 \le i \le n \\ 1 \le j \le n \end{matrix}}

 

una generica matrice quadrata e

 

A^T=(a_{ji})_{\begin{matrix}1 \le i \le n \\ 1 \le j \le n \end{matrix}}

 

la sua trasposta. Allora

 

A \mbox{ ortogonale } \iff \forall i,j\in\{1,\dots,n\}: \ c_{ij}=\begin{cases}1 \mbox{ se } i=j \\ 0 \mbox{ se } i \neq j\end{cases}

 

dove c_{ij} sono gli elementi della matrice prodotto AA^T=A^TA

 

Proprietà della matrice ortogonale

 

Una tra le principali proprietà di cui godono le matrici ortogonali riguarda il determinante, ossia:

 

 

1) il determinante di una matrice ortogonale (di qualsiasi ordine) è più o meno 1. Tra l'altro è semplicissimo capirne il motivo. Basta solo ricordare che una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante, che il determinante di un prodotto è uguale al prodotto dei determinanti (teorema di Binet) e che la matrice identica ha determinante 1.

 

Alla luce di ciò, se A è una matrice ortogonale di ordine n, per definizione:

 

AA^T=I_n

 

Ne segue allora, per quanto appena ricordato, che

 

\mbox{det}(AA^T)=\mbox{det}(I_n) \iff [\mbox{det}(A)]^2 = 1 \iff \mbox{det}(A)=\pm 1

 

Le matrici ortogonali a determinante 1 si dicono matrici ortogonali speciali. Capiremo tra poco il motivo per cui a tali matrici è stato assegnato un nome ad hoc; procediamo ora con le proprietà.

 

 

2) Ogni matrice ortogonale è invertibile e la matrice inversa coincide con la trasposta. Tale proprietà è una conseguenza diretta delle definizioni di matrice ortogonale e di matrice inversa. Infatti, data una matrice A invertibile la sua matrice inversa A^{-1} è tale che

 

AA^{-1}=A^{-1}A=I

 

e per le matrici ortogonale vale, invece, l'uguaglianza

 

AA^{T}=A^{T}A=I

 

Possiamo così concludere, in virtù delle uguaglianze precedenti, che per le matrici ortogonali inversa e trasposta coincidono.

 

 

3) L'inversa di una matrice ortogonale (che abbiamo visto coincidere con la matrice trasposta) è ancora una matrice ortogonale.

 

 

4) Il prodotto tra due matrici ortogonali dello stesso ordine è ancora una matrice ortogonale. Infatti, dette A \mbox{ e } B due matrici ortogonali di ordine n, abbiamo che

 

(AB)(AB)^T=(AB)(B^TA^T)\overbrace{=}^{(*)}A(BB^T)A^T\overbrace{=}^{(**)}AI_nA^T=AA^T\overbrace{=}^{(**)}I_n

 

(*) il prodotto tra matrici gode della proprietà associativa.

(**) in quanto abbiamo supposto che A \mbox{ e } B sono due matrici ortogonali.

 

Per chi ha già masticato un po' di Algebra astratta, possiamo rienunciare tale proprietà dicendo che l'insieme delle matrici ortogonali di un fissato ordine n è un insieme chiuso rispetto all'operazione di prodotto tra matrici.

 

 

5) Per quanto concerne autovalori ed autovettori relativi ad una matrice ortogonale possiamo dire che gli autovalori di una matrice ortogonale, che siano reali o complessi, hanno tutti modulo pari ad 1 ed autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali.

 

 

6) Le colonne, così come le righe, di una matrice ortogonale di ordine n formano una base ortonormale dello spazio euclideo \mathbb{R}^n con l'ordinario prodotto scalare.

 

 

7) Nello spazio euclideo di dimensione 2 o 3 le matrici ortogonali definiscono un'isometria, in particolare una rotazione, una riflessione o una composizione tra le due trasformazioni.

 

 

8) Ogni matrice simmetrica può essere diagonalizzata da una matrice ortogonale.

 

 

All'inizio della lezione vi abbiamo anticipato che le matrici ortogonali formano un gruppo.. È arrivato il momento si saperne di più ;)

 

Gruppo ortogonale e gruppo ortogonale speciale

 

Fissiamo un numero naturale maggiore o uguale a 2, n\in \mathbb{N}, \ n\ge 2, e consideriamo l'insieme delle matrici ortogonali di ordine n a coefficienti in un campo \mathbb{K}. Indichiamo tale insieme con

 

O(n)=\{A \in Mat(n,\mathbb{K}) \ | \ AA^T=A^TA=I_n\}

 

Tramite le proprietà prima enunciate abbiamo visto che l'insieme O(n) è chiuso rispetto al prodotto tra matrici, ogni matrice ortogonale è invertibile e l'inversa (che coincide con la trasposta) è ancora una matrice ortogonale. Sappiamo inoltre che il prodotto tra matrici è associativo e che la matrice identica funge da elemento neutro.

 

Questo basta per concludere che l'insieme O(n) delle matrici ortogonali di ordine n con l'operazione di prodotto tra matrici forma un gruppo, detto gruppo ortogonale che è un sottogruppo del gruppo generale lineare.

 

Inoltre tra le matrici ortogonali di ordine n, quelle a determinante 1 (ossia le matrici ortogonali speciali) formano un sottogruppo del gruppo ortogonale detto gruppo ortogonale speciale - click!

 

 


 

Uno tra i più classici esercizi su matrici e vettori richiede di determinare una matrice ortogonale a partire da un dato vettore. Abbiamo spiegato come fare nel processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt - click!

 


 

Ora è davvero tutto! Avrete modo di apprezzare nel corso dei vostri studi l'utilità e l'importanza che le matrici ortogonali rivestono anche in ambiti che non hanno prettamente a che fare con le matrici. Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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