Matrice simmetrica

Le matrici simmetriche rivestono un ruolo chiave nello studio dell'Algebra Lineare, anche in contesti che non hanno espressamente a che fare con le matrici; la loro definizione è una tra le più semplici che incontrerete ma le proprietà di cui gode una matrice simmetrica sono molteplici (senza contare il numero di concetti che si introducono a partire da esse).

 

Vi invitiamo quindi, come spesso accade, a non sottovalutarle. Chiuderemo poi la lezione vedendo la definizione e le proprietà di cui godono le matrici antisimmetriche.

 

Prima di procedere con la lettura potreste fare un ripasso veloce dei tipi di matrice, che male non fa!

 

Definizione ed esempi sulla matrice simmetrica

 

Sia A una generica matrice quadrata con elementi in un campo \mathbb{K}. A si dice simmetrica se coincide con la sua matrice trasposta.

 

Vediamo subito qualche esempio.

 

\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 5\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}2+i & 3 & i & -2 \\ 3 & -1 & 7 & 1+i \\ i & 7 & 0 & 0 \\ -2 & 1+i & 0 & 4 \end{pmatrix}

 

sono tre matrici simmetriche; le prime due a coefficienti reali, l'ultima a coefficienti in campo complesso. Scrivendo la trasposta per ognuna delle tre matrici ricadiamo proprio nelle matrici di partenza; provare per credere!

 

In termini matematici possiamo esprimere la definizione di matrice simmetrica come segue: sia

 

A=(a_{ij})_{\begin{matrix}1 \le i \le n \\ 1 \le j \le n \end{matrix}}

 

una matrice quadrata di ordine n.

 

A \mbox{ simmetrica } \iff A=A^{T} \iff \forall i,j \in \{1, \dots, n\}: \ a_{ij}=a_{ji}

 

A parole: i coefficienti di una matrice simmetrica sono, per definizione e come suggerisce il nome stesso, simmetrici rispetto alla diagonale principale. Rileggendo la definizione in questo modo si capisce subito che per stabilire se una matrice è simmetrica non serve ricavare ogni volta la sua trasposta, ma basta guardarla attentamente. Inoltre, proprio per come sono definite, le matrice diagonali sono simmetriche e quindi, in particolare, le matrici identità (di qualsiasi ordine) sono matrici simmetriche.

 

Proprietà della matrice simmetrica

 

1) Non possiamo dire nulla a priori sul determinante e sull'invertibilità di una matrice simmetrica; se però una matrice simmetrica è invertibile la matrice inversa sarà, anch'essa, simmetrica.

 

 

2) Se A è una matrice simmetrica a coefficienti reali, i suoi autovalori sono tutti reali.

 

 

3) Il rango di una matrice simmetrica è uguale al numero dei suoi autovalori non nulli.

 

 

4) Gli autovettori corrispondenti ad un autovalori distinti associati ad una matrice simmetrica sono a due a due ortogonali, ossia il prodotto scalare tra due qualsiasi autovettori associati ad autovalori distinti è nullo.

 

 

5) Ogni matrice simmetrica è una matrice diagonalizzabile; inoltre ogni matrice simmetrica a coefficienti reali ha come matrice diagonalizzante una matrice ortogonale.

 

 

6) Partendo da una matrice simmetrica è possibile definire un prodotto scalare e una forma quadratica.

 

 

7) Se A è una matrice simmetrica ed ortogonale allora il prodotto riga per colonna della matrice A con se stessa è la matrice identità, ossia A^2=I.

 

 

8) Per le matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana coincidono.

 

 

9) La somma tra una qualsiasi matrice quadrata e la sua trasposta è una matrice simmetrica, ossia se A è una qualsiasi matrice quadrata, A+A^{T} è una matrice simmetrica.

 

 

10) Le matrici simmetriche si possono catalogare in matrici definite positive, definite negative, semidefinite o indefinite.

 

 

11) Si parlerà di matrici congruenti facendo riferimento soprattutto alle matrici simmetriche e, proprio per tali matrici è possibile introdurre il concetto di segnatura.

 

 

Questo conclude quanto c'è da sapere sulle matrici simmetriche. Ora, per chi è interessato, vediamo come si definiscono le matrici antisimmetriche e le principali proprietà di cui godono tali matrici.

 

Definizione e proprietà della matrice antisimmetrica

 

Una matrice quadrata si dice antisimmetrica se la trasposta coincide con la sua opposta, ossia

 

A \mbox{ antisimmetrica } \iff A^{T}=-A \iff \forall i,j \in \{1, \dots, n\}: \ a_{ji}=-a_{ij}

 

Ad esempio le matrici

 

\begin{pmatrix}0 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & -5 \\ -3 & 5 & 0\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}0 & 3+i & i & -7 \\ -3-i & 0 & 5 & 2i \\ -i & -5 & 0 & 4 \\ 7 & -2i & -4 & 0 \end{pmatrix}

 

sono tre matrici antisimmetriche.

 

Una matrice antisimmetrica gode delle seguenti proprietà:

 

 

1) La diagonale principale è formata da elementi tutti nulli, ossia \forall i \in \{1,\dots, n\}: \ a_{ii}=0; ne segue allora che la traccia di una matrice antisimmetrica è zero.

 

 

2) Il determinante di una matrice antisimmetrica è non negativo; in particolare se l'ordine della matrice è dispari il suo determinante è nullo.

 

 

3) Dalla proprietà precedente segue che ogni matrice antisimmetrica di ordine dispari non è mai invertibile.

 

 

4) Gli autovalori di una matrice antisimmetrica a coefficienti reali sono tutti immaginari puri; inoltre se \lambda è un autovalore lo è anche il suo opposto -\lambda.

 

 

5) La differenza tra una qualsiasi matrice quadrata e la sua trasposta è una matrice antisimmetrica, ossia se A è una qualsiasi matrice quadrata, A-A^{T} è una matrice antisimmetrica.

 

 

Una proprietà che lega le matrici simmetriche ed antisimmetriche è la seguente:

 

ogni matrice M a coefficienti in campo reale o in campo complesso (o più in generale a coefficienti in un campo a caratteristica diversa di 2) si può scrivere come somma tra una matrice simmetrica S ed una matrice antisimmetrica A. Ossia

 

M=S+A, \mbox{ con } S=\frac{1}{2}\left(M+M^{T}\right), \ A=\frac{1}{2}\left(M-M^{T}\right)

 

 


 

È tutto ragazzi! Se qualche dubbio continua ad assillarvi la vostra àncora di salvezza sarà l'utilizzo della barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina). Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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