Ricavare una base da un sistema lineare omogeneo

Capita spesso nelle richieste degli esercizi di Algebra Lineare di dover determinare la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Tale richiesta, come vedremo nel paragrafo conclusivo, equivale a determinare dimensione e base di un sottospazio vettoriale definito da equazioni cartesiane.

 

Lo scopo di questa lezione è proprio quello di fornire un modus operandi utile a trovare la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni di una o più equazioni lineari e omogenee che definiscono un sistema lineare o, più in generale, un sottospazio vettoriale.

 

Come ricavare la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo

 

Consideriamo un sistema lineare omogeneo

 

(*)\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots +a_{2n}x_n=0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=0\end{cases}

 

ossia un sistema lineare i cui termini noti delle equazioni che lo compongono sono tutti nulli. Proprio come abbiamo visto nella lezione sul teorema di Rouché Capelli possiamo ricavare la matrice incompleta A associata al sistema, vale a dire la matrice dei coefficienti delle incognite

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix}

 

La dimensione dello spazio delle soluzioni di sistema lineare omogeneo è data dalla differenza tra il numero delle incognite ed il rango della matrice dei coefficienti ad esso associata. Cioè, dato un sistema lineare omogeneo (*), per trovare la dimensione dello spazio delle soluzioni occorre:

 

1) scrivere la matrice dei coefficienti associata al sistema, quella che abbiamo indicato con A;

 

2) determinare il rango della matrice A;

 

3) sottrarre dal numero n delle incognite che formano il sistema il rango della matrice. In parole povere n-\mbox{rango}(A) sarà la dimensione cercata. Tutto qui. Wink

 

 

Nel caso particolarissimo in cui il numero delle incognite coincide con il rango della matrice A concluderemo subito che la dimensione dello spazio delle soluzioni è zero e quindi non ha nemmeno senso cercare una base.

 

Prima di fare un esempio vediamo il metodo che ci permette di determinare una base dello spazio delle soluzioni.

 

Come trovare una base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo

 

Dal momento che un sistema lineare omogeneo non è mai incompatibile, ossia ammette sempre almeno una soluzione che al più sarà la soluzione banale (x_1=x_2=\dots=x_n=0), per determinare una base dello spazio delle soluzioni basta risolvere algebricamente il sistema.

 

In particolare:

 

1) se il sistema ammette un'unica soluzione, che sarà inevitabilmente la soluzione banale, l'esercizio può dirsi concluso. La dimensione dello spazio delle soluzioni è zero e non abbiamo altro da dire.

 

2) Se invece il sistema ammette, in virtù del Teorema di Rouché Capelli, \infty^{n-\mbox{rango}(A)} soluzioni, basterà assegnare a (n-\mbox{rango}(A)) incognite il ruolo di parametro libero e ricavare le infinite soluzioni, che dipenderanno da uno o più parametri. A questo punto occorrerà esprimere le soluzioni come combinazione lineare avente come coefficienti i parametri liberi. I vettori che formano la combinazione lineare individueranno proprio una base dello spazio delle soluzioni.

 

Sicuramente detto in questi termini può sembrare un ragionamento complicato ma vi assicuriamo che, in realtà, è semplicissimo. Il seguente esempio renderà tutto più chiaro. Wink

 

Esempio su dimensione e base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo

 

Prendiamo il seguente sistema lineare omogeneo

 

\begin{cases}2x+y=0 \\ 8x+z=0 \\ 4x-2y+z=0\end{cases}

 

per il quale vogliamo determinare una base dello spazio delle soluzioni e la sua dimensione.

 

 

Svolgimento: scriviamoci la matrice dei coefficienti associata al sistema

 

A=\begin{pmatrix}2&1&0 \\ 8&0&1 \\ 4&-2&1\end{pmatrix}

 

Siamo di fronte ad una matrice quadrata di ordine 3, di conseguenza il suo rango potrà essere al massimo pari a 3.

 

Calcoliamone il determinante. Procedendo ad esempio con la regola di Sarrus troviamo che esso è nullo. Inoltre dal momento che il minore di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna ha determinante non nullo

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 8 & 0\end{pmatrix}=0-8=-8 \neq 0

 

possiamo concludere che rk(A)=2.

 

Il sistema è definito da n=3 per cui sappiamo già che la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema è uguale a 

 

n-\mbox{rango}(A)=3-2=1

 

 

Per trovare una base seguiamo il procedimento visto in precedenza. Assegniamo a n-\mbox{rango}(A)=1 incognita il ruolo di parametro e ricaviamo le \infty^1 soluzioni del sistema.

 

Ponendo ad esempio (la scelta è del tutto arbitraria) x=a e sostituendo nel sistema, ne risulta

 

\begin{cases}y=-2a \\ z=-8a \\ 0=0\end{cases}

 

Le \infty^1 soluzioni del sistema saranno allora date da

 

(x,y,z)=(a,-2a,-8a) \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

 

Ora non ci resta che scriverle sotto forma di combinazione lineare avente come coefficiente il parametro libero a, ossia

 

(a,-2a,-8a)=a(1,-2,-8) \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

 

Abbiamo così trovato una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo: \{(1,-2,-8)\} e l'esercizio può dirsi concluso. 

 

 


 

 

Nell'esempio precedente abbiamo determinato il rango della matrice quadrata A (di ordine 3) servendoci del metodo dei minori. Spesso però, quando si ha a che fare con matrici associate al sistema di ordine superiore a 3 o con matrici rettangolari 3x4 o 4x5, determinare il rango della matrice con il metodo dei minori è assai laborioso, senza parlare della grande mole di conti che bisogna eseguire per trovare le soluzioni del sistema.

 

In questi casi conviene procedere con il metodo di eliminazione gaussiana che, fidatevi, fa risparmiare molto tempo ed è indispensabile in sede d'esame. A tal proposito vi invitiamo a dare un'occhiata al seguente esempio: base di un sistema lineare omogeneo con il metodo di eliminazione gaussiana - click!

 

 


 

 

Per concludere vogliamo mostrarvi che il metodo finora esposto permette di risolvere un'altra classe di esercizi, ossia quelli in cui si chiede di determinare dimensione e base di un sottospazio vettoriale definito da equazioni cartesiane.

 

Prima però ci teniamo a farvi notare che, se avete già avuto modo di studiare le applicazioni lineari definite da una matrice, determinare una base del sottospazio vettoriale formato dalle soluzioni di un sistema lineare omogeneo equivale a trovare una base per il nucleo dell'applicazione lineare definita dalla matrice dei coefficienti associata al sistema.

 

Dimensione e base di un sottospazio vettoriale definito da equazioni cartesiane

 

Supponiamo di avere un sottospazio vettoriale V\subseteq \mathbb{R}^n definito da m\ge 1 equazioni cartesiane. Per farla breve, supponiamo di essere di fronte ad un sottospazio vettoriale definito come

 

V=\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n \ | \ \mbox{equazione 1, equazione 2 } \dots \mbox{ equazione m}}\}

 

Quello che ci stiamo proponendo di fare è capire come estrarre una base da un sottospazio definito da equazioni cartesiane; in una lezione a parte abbiamo invece visto come ricavare le equazioni cartesiane da un sistema di generatori - click!

 

Innanzitutto osserviamo che, per definizione di sottospazio vettoriale, le m equazioni che definiscono V devono essere omogenee, ossia avere (tutte) termine noto nullo. Quindi, in buona sostanza, ricavare una base e la dimensione di un sottospazio dello spazio vettoriale \mathbb{R}^n definito da m\ge 1 equazioni cartesiane equivale a trovare la dimensione ed una base del sistema lineare omogeneo di n incognite formato dalle m equazioni che definiscono il sottospazio.

 

Niente di più e niente di meno, e per farlo basta procedere come visto nei paragrafi precedenti!

 

 

Caso particolare

 

Vogliamo richiamare un attimo la vostra attenzione su un caso (solo all'apparenza) particolare che però capita molto di frequente negli esercizi, ossia come trovare dimensione e base di un sottospazio definito da una sola equazione cartesiana. Ad esempio

 

V=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ | \ x-y+2z=0\}

 

Per determinare una base del sottospazio definito da una sola equazione basta pensare ad un sistema di n incognite (pari alla dimensione dello spazio vettoriale \mathbb{R}^n) formato, appunto, da una sola equazione. La matrice associata al sistema sarà allora una matrice riga di n elementi avente rango 1. Nel caso in esame

 

A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\end{pmatrix}

 

Di conseguenza la dimensione del sottospazio sarà n-1 (nel nostro caso 2) e quindi a due delle tre incognite dovremo attribuire il ruolo di parametro. Ponendo y=a \mbox{ e } z=b possiamo esprimere l'equazione cartesiana nella forma

 

x=y-2z=a-2b 

 

Pertanto il generico elemento del sottospazio V sarà, in forma vettoriale, (a-2b,a,b). Dovremo allora semplicemente esprimerlo sotto forma di combinazione lineare rispetto ai parametri a \mbox{ e } b

 

(a-2b,a,b)=a(1,1,0)+b(-2,0,1)

 

Abbiamo così, in automatico, una base per V:\ \{(1,1,0), (-2,0,1)\}.

 

 


 

È tutto ragazzi! Il metodo migliore per prendere confidenza con quanto ci siamo detti finora è quello di fare quanti più esercizi possibile. Ne potete trovare a decine, accuratamente svolti, utilizzando la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina).

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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