Matrice diagonalizzabile

In questa lezione parleremo delle condizioni di diagonalizzabilità di una matrice e, nello specifico, vedremo quando una matrice è diagonalizzabile e nel caso in cui lo fosse, vedremo come diagonalizzare una matrice assegnata.

 

Condizione di diagonalizzabilità di una matrice

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Diremo che A è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale D di ordine n, ovvero

 

A è diagonalizzabile se e solo se esiste P, matrice invertibile, tale che  D=P^{-1}AP, ovvero PD= AP.

 

La matrice P si dirà la matrice diagonalizzante di A.

 

Vista la definizione formale entriamo nel vivo della questione e vediamo come stabilire se una matrice è diagonalizzabile e come trovare la matrice diagonalizzante e la matrice diagonale a cui essa è simile.

 

Per far ciò però è indispensabile:

 

- saper calcolare autovalori e autovettori associati alla matrice A

 

- saper calcolare la molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori.

 

Come capire se una matrice è diagonalizzabile

 

Supponiamo di lavorare, per il momento, in \mathbb{R} e sia A una matrice quadrata di ordine n.

 

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice sia diagonalizzabile è che:

 

1) Il numero degli autovalori, contati con la loro molteplicità, sia pari all'ordine della matrice.

 

2) La molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincida con la relativa molteplicità algebrica.

 

Prima di vedere un esempio richiamiamo la vostra attenzione su due casi particolari che ci faranno risparmiare un po' di conticini:

 

- se A è una matrice simmetrica allora A è diagonalizzabile.

 

- Se A è una matrice (quadrata) di ordine n che ammette esattamente n autovalori distinti allora A è diagonalizzabile.

 

 

Domanda: se stessimo lavorando in \mathbb{C} o più in generale in un campo \mathbb{K} algebricamente chiuso, cambierebbe qualcosa?

 

Il punto 1) della precedente caratterizzazione sarebbe verificato in automatico in quanto, come di certo saprete, il numero degli autovalori (contati con la loro molteplicità) è dato dal numero delle radici del polinomio caratteristico che ha grado pari all'ordine della matrice. In un campo algebricamente chiuso il numero delle radici di un polinomio è pari al grado di quest'ultimo.

 

Esempi sulle matrici diagonalizzabili e non

 

1) Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile

 

A= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]

 

Per far ciò, dobbiamo vedere se valgono le proprietà 1) e 2) prima enunciate. Iniziamo col trovare gli autovalori di tale matrice:

 

P(\lambda)=det[A-\lambda Id]=(1-\lambda)(\lambda^2+1)

 

L'unica radice reale di P(\lambda ) è \lambda_0= 1 con molteplicità uno. Pertanto, non essendo verificata la condizione 1) possiamo concludere che la nostra matrice non è diagonalizzabile in \mathbb{R}.

 

Attenzione: se stessimo lavorando in \mathbb{C} il polinomio caratteristico ammetterebbe tre radici distinte: \lambda_0=1, \ \lambda_1=\math{i}, \ \lambda_2=-\math{i} pertanto la matrice sarebbe diagonalizzabile (siamo in uno dei due casi particolari visti in precedenza).

 

Morale: occorre sempre specificare il campo in cui stiamo lavorando.

 

2) Data la matrice

 

A=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4\end{matrix}\right]

 

stabilire se è diagonalizzabile in \mathbb{R}.

 

Dopo aver calcolato il polinomio caratteristico

 

P(\lambda)=-\lambda^3+7\lambda^2-16\lambda+12

 

ed averlo scomposto con la regola di Ruffini, otteniamo

 

P(\lambda)= (2-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda-3)

 

pertanto gli autovalori associati alla nostra matrice sono:

 

\lambda_0 =2 con molteplicità algebrica 2

 

\lambda_1 =3 con molteplicità algebrica 1

 

È quindi soddisfatta la prima condizione (la somma delle molteplicità degli autovalori è uguale all'ordine della matrice). Per concludere se è o meno diagonalizzabile dobbiamo vedere se la molteplicità geometrica di ogni autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica:

 

m_g(2)=n-rank[A-2Id]=3-rank \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 2\end{matrix}\right]=3-2=1.

 

Poiché 2= m_a(2) \neq m_g(2)=1 la matrice A non è diagonalizzabile.

 

Come diagonalizzare una matrice

 

Uno dei classici esercizi di Algebra Lineare è quello, assegnata una matrice, di stabilire se è diagonalizzabile (abbiamo appena visto come fare) e, in caso affermativo, trovare la matrice P che la diagonalizza e la matrice diagonale D a cui essa è simile, per la quaale vale

 

D=P^{-1}AP 

 

Il tutto come ci si aspetta ruota attorno ad autovalori ed autovettori. Infatti:

 

- la matrice D è una matrice diagonale che presenta, sulla diagonale principale, gli autovalori della matrice A;

 

- la matrice diagonalizzante P è la matrice che ha come colonne gli autovettori associati ad ogni autovalore, ovvero ha come colonne i vettori che generano gli autospazi relativi ad ogni autovalore.

 

Affinchè tutto funzioni ci deve essere una certa corrispondenza nel modo in cui scriviamo le matrici D e P, cioè: se la j-esima colonna della matrice P contiene l'autovettore associato all'autovalore \lambda_0 allora l'elemento sulla j-esima colonna della matrice D deve essere proprio \lambda_0 e viceversa. Wink

 

Esempio: verificare che la matrice

 

A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1\end{matrix}\right]

 

è diagonalizzabile in \mathbb{R} e determinare una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P tali che D=P^{-1}AP.

 

P(\lambda)=det[A-\lambda Id]=(2-\lambda)[(1-\lambda)^2-1]=-\lambda (\lambda-2)^2

 

La nostra matrice ammette dunque i seguenti autovalori:

 

\lambda_0= 0 con m_a(0)= 1

 

\lambda_1= 2 con m_a(2)= 2

 

m_g(2)= n-rank[A-2Id]=3-rank \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1\end{matrix}\right]=3-1=2

 

m_g(0)= 1

 

senza fare nessun conto. Basta infatti ricordare che, in generale, 1 \leq m_g(\lambda_0)\leq m_a(\lambda_0) \leq n

 

Possiamo quindi concludere che la matrice è diagonalizzabile.

 

L'autospazio relativo all'autovalore \lambda_1= 2 è generato dai vettori v_1=(2,1,0),\ v_2=(1,0,1), mentre

 

l'autospazio relativo all'autovalore \lambda_0= 0 è generato dal vettore v_0= (-1,0,1)

 

Pertanto:

 

D= \left[ \begin{matrix} {\color{Blue}2} & 0 & 0 \\ 0 & {\color{DarkGreen}2} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Red}0}\end{matrix}\right] \ \ \ P=\left[ \begin{matrix} {\color{Blue}2} & {\color{DarkGreen}1} & {\color{Red}-1} \\ {\color{Blue}1} & {\color{DarkGreen}0} & {\color{Red}0} \\ \underbrace{{\color{Blue}0}}_{{\color{Blue}v_1}} & \underbrace{{\color{DarkGreen}1}}_{{\color{DarkGreen}v_2}} & \underbrace{{\color{Red}1}}_{{\color{Red}v_0}}\end{matrix}\right]

 

A voi, se volete, il compito di verificare che D=P^{-1}AP. In fin dei conti si tratta solo di calcolare un paio di prodotti tra matrici... Wink 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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