Matrice diagonalizzabile

In questa lezione parleremo delle condizioni di diagonalizzabilità di una matrice e, nello specifico, vedremo quando una matrice è diagonalizzabile e nel caso in cui lo fosse, vedremo come diagonalizzare una matrice assegnata.

 

Condizione di diagonalizzabilità di una matrice

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Diremo che A è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale D di ordine n, ovvero

 

A è diagonalizzabile se e solo se esiste P, matrice invertibile, tale che  D=P^{-1}AP, ovvero PD= AP.

 

La matrice P si dirà la matrice diagonalizzante di A.

 

Vista la definizione formale entriamo nel vivo della questione e vediamo come stabilire se una matrice è diagonalizzabile e come trovare la matrice diagonalizzante e la matrice diagonale a cui essa è simile.

 

Per far ciò però è indispensabile:

 

- saper calcolare autovalori e autovettori associati alla matrice A

 

- saper calcolare la molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori.

 

Come capire se una matrice è diagonalizzabile

 

Supponiamo di lavorare, per il momento, in \mathbb{R} e sia A una matrice quadrata di ordine n.

 

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice sia diagonalizzabile è che:

 

1) Il numero degli autovalori, contati con la loro molteplicità, sia pari all'ordine della matrice.

 

2) La molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincida con la relativa molteplicità algebrica.

 

Domanda: se stessimo lavorando in \mathbb{C} o più in generale in un campo \mathbb{K} algebricamente chiuso, cambierebbe qualcosa?

 

Il punto 1) della precedente caratterizzazione sarebbe verificato in automatico in quanto, come di certo saprete, il numero degli autovalori (contati con la loro molteplicità) è dato dal numero delle radici del polinomio caratteristico che ha grado pari all'ordine della matrice. In un campo algebricamente chiuso il numero delle radici di un polinomio è pari al grado di quest'ultimo.

 

Prima di vedere un esempio richiamiamo la vostra attenzione su due casi particolari che ci faranno risparmiare un po' di conticini:

 

- se A è una matrice simmetrica allora A è diagonalizzabile.

 

- Se A è una matrice (quadrata) di ordine n che ammette esattamente n autovalori distinti allora A è diagonalizzabile.

 

Esempi sulle matrici diagonalizzabili e non

 

1) Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile

 

A= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]

 

Per far ciò, dobbiamo vedere se valgono le proprietà 1) e 2) prima enunciate. Iniziamo col trovare gli autovalori di tale matrice:

 

P(\lambda)=det[A-\lambda Id]=(1-\lambda)(\lambda^2+1)

 

L'unica radice reale di P(\lambda ) è \lambda_0= 1 con molteplicità uno. Pertanto, non essendo verificata la condizione 1) possiamo concludere che la nostra matrice non è diagonalizzabile in \mathbb{R}.

 

Attenzione: se stessimo lavorando in \mathbb{C} il polinomio caratteristico ammetterebbe tre radici distinte: \lambda_0=1, \ \lambda_1=\math{i}, \ \lambda_2=-\math{i} pertanto la matrice sarebbe diagonalizzabile (siamo in uno dei due casi particolari visti in precedenza).

 

Morale: occorre sempre specificare il campo in cui stiamo lavorando.

 

2) Data la matrice

 

A=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4\end{matrix}\right]

 

stabilire se è diagonalizzabile in \mathbb{R}.

 

Dopo aver calcolato il polinomio caratteristico

 

P(\lambda)=-\lambda^3+7\lambda^2-16\lambda+12

 

ed averlo scomposto con la regola di Ruffini, otteniamo

 

P(\lambda)= (2-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda-3)

 

pertanto gli autovalori associati alla nostra matrice sono:

 

\lambda_0 =2 con molteplicità algebrica 2

 

\lambda_1 =3 con molteplicità algebrica 1

 

È quindi soddisfatta la prima condizione (la somma delle molteplicità degli autovalori è uguale all'ordine della matrice). Per concludere se è o meno diagonalizzabile dobbiamo vedere se la molteplicità geometrica di ogni autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica:

 

m_g(2)=n-rank[A-2Id]=3-rank \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 2\end{matrix}\right]=3-2=1.

 

Poiché 2= m_a(2) \neq m_g(2)=1 la matrice A non è diagonalizzabile.

 

Come diagonalizzare una matrice

 

Uno dei classici esercizi di Algebra Lineare è quello, assegnata una matrice, di stabilire se è diagonalizzabile (abbiamo appena visto come fare) e, in caso affermativo, trovare la matrice P che la diagonalizza e la matrice diagonale D a cui essa è simile, per la quaale vale

 

D=P^{-1}AP 

 

Il tutto come ci si aspetta ruota attorno ad autovalori ed autovettori. Infatti:

 

- la matrice D è una matrice diagonale che presenta, sulla diagonale principale, gli autovalori della matrice A;

 

- la matrice diagonalizzante P è la matrice che ha come colonne gli autovettori associati ad ogni autovalore, ovvero ha come colonne i vettori che generano gli autospazi relativi ad ogni autovalore.

 

Affinchè tutto funzioni ci deve essere una certa corrispondenza nel modo in cui scriviamo le matrici D e P, cioè: se la j-esima colonna della matrice P contiene l'autovettore associato all'autovalore \lambda_0 allora l'elemento sulla j-esima colonna della matrice D deve essere proprio \lambda_0 e viceversa. Wink

 

Esempio: verificare che la matrice

 

A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1\end{matrix}\right]

 

è diagonalizzabile in \mathbb{R} e determinare una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P tali che D=P^{-1}AP.

 

P(\lambda)=det[A-\lambda Id]=(2-\lambda)[(1-\lambda)^2-1]=-\lambda (\lambda-2)^2

 

La nostra matrice ammette dunque i seguenti autovalori:

 

\lambda_0= 0 con m_a(0)= 1

 

\lambda_1= 2 con m_a(2)= 2

 

m_g(2)= n-rank[A-2Id]=3-rank \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1\end{matrix}\right]=3-1=2

 

m_g(0)= 1

 

senza fare nessun conto. Basta infatti ricordare che, in generale, 1 \leq m_g(\lambda_0)\leq m_a(\lambda_0) \leq n

 

Possiamo quindi concludere che la matrice è diagonalizzabile.

 

L'autospazio relativo all'autovalore \lambda_1= 2 è generato dai vettori v_1=(2,1,0),\ v_2=(1,0,1), mentre

 

l'autospazio relativo all'autovalore \lambda_0= 0 è generato dal vettore v_0= (-1,0,1)

 

Pertanto:

 

D= \left[ \begin{matrix} {\color{Blue}2} & 0 & 0 \\ 0 & {\color{DarkGreen}2} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Red}0}\end{matrix}\right] \ \ \ P=\left[ \begin{matrix} {\color{Blue}2} & {\color{DarkGreen}1} & {\color{Red}-1} \\ {\color{Blue}1} & {\color{DarkGreen}0} & {\color{Red}0} \\ \underbrace{{\color{Blue}0}}_{{\color{Blue}v_1}} & \underbrace{{\color{DarkGreen}1}}_{{\color{DarkGreen}v_2}} & \underbrace{{\color{Red}1}}_{{\color{Red}v_0}}\end{matrix}\right]

 

A voi, se volete, il compito di verificare che D=P^{-1}AP. In fin dei conti si tratta solo di calcolare un paio di prodotti tra matrici... Wink 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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