Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica

Vediamo di chiarire una volta per tutte ogni possibile dubbio sulla molteplità algebrica e sulla molteplicità geometrica di un autovalore. Come nostra abitudine ne daremo le definizioni e vedremo come calcolarle (svelando qualche trucchetto) corredando il tutto con qualche esempio.

 

Sia ben inteso: in questa lezione daremo per scontato che tu sappia cosa sono autovalori e autovettori associati ad una matrice. ;)

 

 

Molteplicità algebrica di un autovalore

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n e sia \lambda un suo autovalore. Si dice molteplicità algebrica dell'autovalore \lambda e si indica con m_a(\lambda ) il numero che esprime quante volte l'autovalore annulla il polinomio caratteristico.

 

Esempio: sia

 

A=\left[ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]

 

Il polinomio caratteristico P(\lambda ) è dato da

 

P(\lambda)=det(A-\lambda Id)=det\left[ \begin{matrix}-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda\end{matrix}\right]=(1-\lambda)(\lambda^2-1)=(1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda+1)

 

Gli zeri di tale polinomio (e quindi gli autovalori della matrice) sono: \lambda_0=1,\ \lambda_1=-1.

 

Qual è la loro molteplicità algebrica?

 

m_a(1)= 2 in quanto \lambda_0= 1 annulla due volte il polinomio caratteristico, mentre m_a(-1)= 1 in quanto \lambda_1= -1 annulla una sola volta P(\lambda)

 

Notate bene che la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori non può mai superare la dimensione della matrice. A dirla tutta, se stiamo lavorando in \mathbb{C} la somma delle molteplicità algebriche coinciderà con la dimensione della matrice (giacché, in campo complesso, un polinomio di grado n ammette esattamente n radici contate con la loro molteplicità). Se siamo in \mathbb{R}, la somma delle molteplicità algebriche sarà minore o al più uguale alla dimensione della matrice.

 

Molteplicità geometrica di un autovalore

 

Data una matrice quadrata A di ordine n e detto \lambda un suo autovalore, si definisce molteplicità geometrica di \lambda e si indica con m_g(\lambda ) la dimensione dell'autospazio relativo a \lambda, ovvero il numero di autovettori linearmente indipendenti relativi all'autovalore \lambda.

 

In termini pratici come si traduce tutte questo? Semplicemente con la formula:

 

(*) \ m_g(\lambda)= n-rank(A-\lambda Id)

 

dove n indica l'ordine della matrice (quadrata) A e "rank" il rango della matrice.

 

Esempio: riprendiamo la matrice 

 

A= \left[ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]

 

Abbiamo già calcolato i suoi autovalori che sono \lambda_0=1,\ \lambda_1=-1. Calcoliamone ora la molteplicità geometrica utilizzando la formula (*). Essendo, in questo caso, n=3, si ha:

 

m_g(1)=3-rank\underbrace{\left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]}_{A-(1)Id} = 3-1=2

 

m_g(-1)=3-rank\underbrace{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]}_{A-(-1)Id} = 3-2=1

 

Legame tra molteplicità algebrica e molteplicità geometrica

 

Come di consueto consideriamo una matrice quadrata A di ordine n e sia \lambda un suo autovalore. Allora:

 

1\ \leq \ m_g(\lambda) \ \leq \ m_a(\lambda) \ \leq \ n

 

Ovvero la molteplicità geometrica di un autovalore è minore o al più uguale alla molteplicità algebrica dello stesso e sarà al minimo uno.

 

 

Come sfruttare questa proprietà negli esercizi?

 

Se, come accade negli esercizi sulla diagonalizzazione di una matrice dobbiamo trovare la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, una volta trovata la molteplicità algebrica, se questa è pari ad uno, possiamo concludere direttamente, senza fare nessun conto, che sarà uno anche la molteplicità geometrica di tale autovalore.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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