Matrice inversa

In questa lezione vedremo come calcolare la matrice inversa di una matrice quadrata (se esiste). A differenza degli altri articoli, in questo caso, c'è poco da capire: basta seguire il procedimento che vedremo tra poco come un semplice foglio di istruzioni. Tongue out

 

Prima di entrare nel vivo della faccenda occorre però introdurre i concetti di complemento e di complemento algebrico (o cofattore che dir si voglia).

 

Premessa per la matrice inversa: complemento e complemento algebrico

 

Sia A una generica matrice quadrata, ovvero A \in Mat(n,n \mathbb{R}). In forma estesa

 

A= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdot & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}  \end{matrix}  \right]

 

Preso un qualsiasi elemento a_{ij} di tale matrice, si dice complemento relativo all'elemento a_{ij} e si indica con C_{ij}, il determinante della matrice che si ottiene dalla matrice A eliminando l'i-esima riga e la j-esima colonna.

 

 

Esempio

 

A= \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 5 & -1 & 2 \\ -3 & 4 & 7  \end{matrix}  \right]

 

Allora il complemento dell'elemento di posto (1,1) è

 

C_{11} = det \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 4 & 7  \end{matrix} \right] = -7 - 8 = -15

 

dove la matrice

 

\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 4 & 7  \end{matrix} \right]

 

è stata ottenuta dalla matrice A eliminando la prima riga e la prima colonna, proprio perché stavamo calcolando C_{11}.

 

Allo stesso modo possiamo calcolare agevomente il complemento dell'elemento di posto (2,1)

 

C_{21} = det \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 4 & 7  \end{matrix} \right] = -14 - 12 = -26

 

Provate voi a calcolare i complementi di tutti gli altri elementi. Wink

 

Premessa 2 per la matrice inversa: i complementi algebrici, o cofattori

 

Come ci si dovrebbe aspettare, il concetto di complemento algebrico o cofattore non è nulla di così diverso dal complemento. Infatti, un complemento algebrico è semplicemente un complemento al quale si aggiunge un segno. Quale segno?

 

Una volta calcolato il complemento C_{ij} ad esso si anteporrà:

 

il segno + se i+j è pari

il segno meno se i+j è dispari

 

In matematichese: 

 

Cof \left( a_{ij} \right) = (-1)^{i+j} \cdot C_{ij}

 

 

Esempio

 

Consideriamo la stessa matrice dell'esempio precedente

 

A= \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 5 & -1 & 2 \\ -3 & 4 & 7  \end{matrix}  \right]

 

e calcoliamo il cofattore dell'elemento a_{11}

 

Cof \left( a_{11} \right) = (-1)^{1+1} \cdot C_{11} = (-1)^{1+1}det \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 4 & 7  \end{matrix} \right] = 1 \cdot (-7 - 8) = -15

 

Allo stesso modo, il complemento algebrico di a_{21} sarà

 

Cof \left( a_{21} \right) =(-1)^{1+2} \cdot C_{21} = (-1)^{1+2} det \left[ \begin{matrix} -2 & 3 \\ 4 & 7  \end{matrix} \right] = -1 \cdot (-14 - 12) = 26

  

Come di consueto a voi l'onere di calcolare i cofattori relativi agli altri elementi.

 

Bene! Se avete ben chiaro quanto appena visto, calcolare (se esiste) l'inversa di una matrice risulterà una passeggiata e si tratterà di fare solo un po' sano e fortificante allenamento coi conti. Laughing 

 

Come calcolare la matrice inversa di una matrice invertibile

 

Sia A una matrice quadrata. La prima cosa da fare è stabilire se si tratta di una matrice invertibile. La condizione di invertibilità è molto semplice: una matrice e invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero.

 

1) Calcolare il determinante di A:

 

1a) Se det(A)=0 Fine! La matrice non è invertibile e quindi non si può calcolare l'inversa.

 

1b) Se det(A) \neq 0 l'inversa esiste e, per determinarla si procede nel modo seguente:

 

2) si calcola la matrice dei cofattori, ovvero si sostituisce ad ogni elemento della matrice di partenza il suo cofattore

 

3) Si calcola la matrice trasposta della matrice ottenuta al punto 2).

 

4) Si moltiplica scalarmente la matrice ottenuta al punto 3) per lo scalare: \frac{1}{det(A)}

 

In sintesi: data la matrice quadrata a coefficienti reali

 

A= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdot & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}  \end{matrix}  \right]

 

ed assunto che la matrice sia invertibile det(A) \neq 0, la sua matrice inversa sarà:

 

A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\left[\begin{matrix} Cof(a_{1,1}) & Cof(a_{1,2}) & ... & Cof(a_{1,n}) \\ Cof(a_{2,1}) & Cof(a_{2,2}) & ... & Cof(a_{2,n})\\ \vdots & \vdots & \cdot & \vdots\\ Cof(a_{n,1}) & Cof(a_{n,2}) & ... & Cof(a_{n,n}) \end{matrix}\right]^T

 

Esempio sul calcolo della matrice inversa

 

Sia

 

A= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 2  \end{matrix}  \right]

 

Come visto cominciamo calcolandone il determinante: det(A)=-5 \neq 0, dunque la matrice è invertibile.

 

Calcoliamo ora i vari cofattori:

 

Cof(a_{11}) = (-1)^{1+1} \cdot C_{11} = 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 4 & 2  \end{matrix}  \right] = -2-12=-14

 

Cof(a_{12}) = (-1)^{1+2} \cdot C_{12} = (-1) \cdot det \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2  \end{matrix}  \right] = -1 \cdot (4-3)= -1

 

Cof(a_{13}) = (-1)^{1+3} \cdot C_{13} = 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4  \end{matrix}  \right] = 8+1=9

 

Cof(a_{21}) = (-1)^{2+1} \cdot C_{21} = (-1) \cdot det \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 4 & 2  \end{matrix}  \right] = -1 \cdot (0-4)=4

 

Cof(a_{22}) = (-1)^{2+2} \cdot C_{22} = 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2  \end{matrix}  \right] = 2-1= 1

 

Cof(a_{23}) = (-1)^{2+3} \cdot C_{23} = (-1) \cdot det \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 4  \end{matrix}  \right] = -1\cdot (4-0)= -4

 

Cof(a_{31}) = (-1)^{3+1} \cdot C_{31} = 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 3  \end{matrix}  \right] = 0 + 1= 1

 

Cof(a_{32}) = (-1)^{3+2} \cdot C_{32} = (-1) \cdot det \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3  \end{matrix}  \right] = -1 \cdot (3-2)= -1

 

Cof(a_{33}) = (-1)^{3+3} \cdot C_{33} = 1 \cdot det \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & -1  \end{matrix}  \right] = -1-0= -1

 

La matrice dei complementi algebrici è quindi:

 

\left[ \begin{matrix} -14 & -1 & 9 \\ 4 & 1 & -4 \\ 1 & -1 & -1  \end{matrix}  \right]

 

La cui trasposta sarà:

 

\left[ \begin{matrix} -14 & -1 & 9 \\ 4 & 1 & -4 \\ 1 & -1 & -1  \end{matrix}  \right]^T = \left[ \begin{matrix} -14 & 4 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 9 & -4 & -1  \end{matrix}  \right]


Possiamo infine scrivere la matrice inversa di A


A^{-1}=\frac{1}{-5} \left[ \begin{matrix} -14 & 4 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 9 & -4 & -1  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \frac{14}{5} & -\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ & & \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ & & \\ -\frac{9}{5} & \frac{4}{5} & \frac{1}{5}  \end{matrix} \right]

 

La definizione di matrice inversa!

 

Dopo aver visto come calcolare praticamente l'inversa di una matrice riteniamo opportuno, per chi fosse interessato, vedere qualche breve nozione teorica e proprietà.

 

Definizione: sia A \in Mat(n,n \mathbb{K}) una matrice quadrata a coefficienti in un campo \mathbb{K}. Tale matrice si dice invertibile se il suo determinante è diverso da zero; sotto tale ipotesi se ne definisce la matrice inversa A^{-1} come la matrice tale per cui:

 

A A^{-1} = I_n = A^{-1} A

 

dove I_n indica la matrice identità avente n righe ed n colonne e A A^{-1}, così come A^{-1} A, indicano il prodotto riga per colonna tra le due matrici.

 

Da notare che tale definizione ci suggerisce un modo per verificare se la matrice ottenuta è effettivamente l'inversa della matrice di partenza. Una volta calcolata, infatti, ci basterà calcolare il prodotto A A^{-1}: se esso coincide con la matrice identità allora è tutto ok, se non è così abbiamo commesso qualche errore. Wink

 

Prima di enunciare le semplici proprietà di cui gode la matrice inversa ci teniamo a dirvi che l'insieme delle matrici quadrate ed invertibili di ordine n dotato del prodotto riga per colonna forma un gruppo, il cosiddetto gruppo generale lineare - click!

 

Proprietà della matrice inversa

 

L'inversa dell'inversa di una matrice A coincide con la matrice A

 

\left(A^{-1}\right)^{-1}=A

 

Regola per l'inversa del prodotto tra due matrici

 

\left(A B\right)^{-1}=B^{-1} A^{-1}

 

Regola per il determinante della matrice inversa

 

det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}

 


 

That's all! Utilizzando la barra di ricerca toverete un sacco di esercizi svolti con cui allenarvi, e se non bastasse non esitate a porci la vostra domanda sul Forum!

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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