Matrice trasposta

Il concetto di matrice trasposta è tanto semplice quanto importante e lo incontrete molto spesso nel vostro corso di studi universitari, anche in contesti che non hanno direttamente a che fare con le matrici. Vediamo quindi com'è definita la trasposta di una matrice e soprattutto le proprietà che la caratterizzano.

 

Definizione ed esempi sulla matrice trasposta

 

Sia A una generica matrice ad elementi in un campo \mathbb{K}. Ribadisco e sottolineo: generica! Ovvero A può essere una matrice di qualsiasi tipo: rettangolare o quadrata, matrice riga (cioè avente una solo riga) o matrice colonna (cioè avente una sola colonna).

 

In tutti i casi è sempre possibile trovarne la matrice trasposta. Essa si indica generalmente con A^T e si ottiene scambiando le righe di A con le sue colonne. Tutto qui!

 

 

Vediamo qualche esempio

 

A) Sia

 

A= \left[ \begin{matrix}1 & 5 & 3 \\ 2 & -3 & 8 \end{matrix} \right]

 

Allora la trasposta di tale matrice è data da

 

A^T = \left[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 5 & -3 \\ 3 & 8 \end{matrix} \right]

 

 

B) Consideriamo una matrice 1x3, ossia un vettore riga

 

A= \left[ \begin{matrix}2 & -1 & 5 \end{matrix} \right]

 

La sua trasposta sarà la matrice 3x1 (vettore colonna)

 

A^T = \left[ \begin{matrix}2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix} \right]

 

 

C) Possiamo anche definire la trasposta di una matrice 3x1, vale a dire di un vettore colonna

 

A = \left[ \begin{matrix}4 \\ -6 \\ 8 \end{matrix} \right]

 

in tal caso avremo come matrice trasposta una matrice 1x3, cioè un vettore riga

 

A^T= \left[ \begin{matrix}4 & -6 & 8 \end{matrix} \right]

 

 

A livello concettuale dovrebbe essere tutto chiaro. Come indichiamo tutto questo in termini matematici?

 

Molto semplicemente: sia A \in Mat(m,n,\mathbb{K}),\ \ A=(a_{ij})_{\begin{matrix} \ 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n\end{matrix}}.

 

Allora A^T \in Mat(n,m,\mathbb{K}),\ \ A^T=(a_{ji})_{\begin{matrix} \ 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n\end{matrix}}

 

Ovvero, come potete osservare anche negli esempi fatti, se A è una matrice avente m righe ed n colonne, la sua trasposta avrà n righe ed m colonne.

 

Proprietà della matrice trasposta

 

1) La trasposta di una somma di matrici è uguale alla somma delle singole matrici trasposte.

 

Cosa vuol dire?

 

Siano A e B due matrici dello stesso tipo, ovvero aventi lo stesso numero di righe e di colonne. Allora tali matrici, come già visto nella lezione sulla somma di matrici, sono sommabili e vale la seguente proprietà:

 

(A+B)^T= A^T + B^T 

 

Esempio: siano

 

A= \left[\begin{matrix} 1 & 2 & -3\\ -1 & 3 & 4 \end{matrix} \right] \ \ \ B= \left[ \begin{matrix} 0 & 4 & 7 \\ 6 & 8 & 2 \end{matrix} \right]

 

Le due matrici, essendo dello stesso tipo, sono sommabili e la somma è data da

 

A+B= \left[ \begin{matrix}1 & 6 & 4 \\ 5 & 11 & 6 \end{matrix} \right]

 

la cui matrice trasposta è

 

(A+B)^T = \left[ \begin{matrix}1 & 5 \\ 6 & 11 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right]

 

Mentre

 

A^T = \left[ \begin{matrix}1 & -1 \\ 2 & 3 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \ \ \ B^T = \left[ \begin{matrix} 0 & 6 \\ 4 & 8 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right]

 

da cui

 

A^T+B^T = \left[ \begin{matrix}1 & 5 \\ 6 & 11 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right]

 

che è proprio uguale a (A+ B)^T.

 

 

2) La trasposta del prodotto di una matrice per uno scalare è uguale al prodotto tra lo scalare e la matrice trasposta, ovvero:

 

se A è una qualsiasi matrice e \lambda è uno scalare:

 

(\lambda A)^T= \lambda A^T

 

Esempio: siano

 

A = \left[ \begin{matrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \\ -2 & 6 \end{matrix} \right]  

 

e \lambda=2. Allora:

 

\lambda A= 2 \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -2 & 6 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 6 & 4 \\ -4 & 12 \end{matrix} \right]

 

da cui

 

(\lambda A)^T=\left[\begin{matrix} 2 & 6 & -4\\ -2 & 4 & 12 \end{matrix}\right]

 

Vediamo ora cosa si ottiene considerando \lambda A^{T}:

 

A^T=\left[\begin{matrix} 1 & 3 & -2\\ -1 & 2 & 6 \end{matrix}\right]

 

e

 

\lambda A^T=\left[\begin{matrix} 2 & 6 & -4 \\ -2 & 4 & 12 \end{matrix} \right]

 

 

Nota bene (per chi ha già studiato le applicazioni lineari)

 

Possiamo riassumere le proprietà 1) e 2) in un'unica proprietà. Ovvero:

 

se A , B\in Mat(m,n,\mathbb{R}) e \lambda,\mu\in \mathbb{R}, allora:

 

(\lambda A+ \mu B)^T=\lambda A^T + \mu B^T

 

Ovvero, pensando alla traposizione come ad un'applicazione da Mat(m,n,\mathbb{R}) a valori in Mat(n,m,\mathbb{R}), essa è un'applicazione lineare.

 

 

3) La trasposta della trasposta di una matrice è la matrice stessa, ovvero:

 

\left( A^T\right)^T = A

 

A voi il compito di verificare tale proprietà con un esempio! Tongue out

 

 

4) Se A è una matrice quadrata, indicato con det(A) il suo determinante si ha che:

 

det(A^T)= det(A)

 

Ovvero il determinante di una matrice (quadrata) è uguale al determinante della sua trasposta.

 

 

5) Il rango di una matrice e quello della sua trasposta coincidono, ossia

 

\mbox{rango}(A)=\mbox{rango}(A^T)

 

 

6) Indicato con A B il prodotto tra due matrici, a patto che esso esista, risulta:

 

(A B)^T= B^T A^T

 

 

7) La trasposta di una matrice invertibile è ancora una matrice invertibile e la sua trasposta è la trasposta dell'inversa. In simboli:

 

\left( A^{T} \right)^{-1}= \left( A^{-1} \right)^T 

 

 


 

Come vi avevamo anticipato all'inizio, calcolare la trasposta di una matrice è a dir poco banale. Piuttosto, sono interessanti le proprietà che abbiamo appena enunciato e che spesso vi permetteranno di risolvere agevolmente un po' di esercizi. Per ora è tutto!

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: che cose e a cosa serve la matrice trasposta di una matrice - quali sono le proprietà della trasposta di una matrice?