Prodotto tra matrici

Vediamo ora quella che probabilmente è l'operazione tra matrici più delicata: il prodotto tra matrici, spesso conosciuto col nome prodotto riga per colonna. Fra poco, promesso, capiremo il perchè di tale nome.

 

Iniziamo subito col dirvi che il prodotto tra matrici non è sempre eseguibile, ragion per cui inzieremo col vedere quando tale operazione è eseguibile, per poi vedere come si esegue e terminare, come di consueto, con le sue proprietà.

 

Quando è possibile eseguire il prodotto tra matrici

 

Siano A e B due matrici ad elementi in un generico campo \mathbb{K}.

 

Possiamo eseguire il prodotto tra A e B a patto che il numero delle colonne della matrice A (prima matrice) sia uguale al numero delle righe di B (seconda matrice).

 

Il prodotto tra le matrici A e B sarà una nuova matrice che indicheremo con A B e avente tante righe quante sono le righe di A e tante colonne quante sono le colonne di B.

 

Con ogni probabilità, se state affrontando quest'argomento per la prima volta, potreste avere le idee un po' confuse. Nessun problema! Rileggiamo le tre righe appena scritte con molta calma, e diamo un'occhiata ai seguenti esempi.

 

A) Siano A una matrice avente 3 righe e 4 colonne e B una matrice avente 4 righe e 5 colonne. 

 

- E' possibile eseguire il prodotto A \ B ?

 

Certo! Perché il numero delle colonne di A è uguale al numero di righe di B.

 

- Che dimensioni avrà la matrice prodotto A \ B ?

 

Essa avrà 3 righe (tante quante le righe di A) e 5 colonne (tante quante le colonne di B).

 

All'atto pratico: come fare per capire se si possono moltiplicare tra loro due matrici e allo stesso tempo vedere che dimensioni avrà la matrice prodotto?

 

Scriviamoci, una accanta all'altra, nell'ordine, le dimensioni tra le due matrici:

 

\overbrace{(3,4)}^{A}; \overbrace{(4,5)}^{B}

 

i due elementi vicini (al punto e virgola) sono uguali (4=4). Il prodotto è quindi eseguibile. La dimensione della matrice prodotto si ottiene "sopprimendo" tali termini, ovvero:

 

(3,\not{4})\times (\not{4},5)=(3,5)

 

cioè, come già avevamo visto avrà 3 righe e 5 colonne.

 

 

B) E' possibile eseguire il prodotto B\ A ?

 

Certo che no! Perché il numero delle colonne di B non è uguale al numero di righe di A.

 

Quindi attenzione! Lo vedremo meglio tra poco ma, intanto, vi anticipiamo questa "nuova ed inaspettata" caratteristica: in generale il prodotto tra matrici non è commutativo.

 

Come calcolare il prodotto tra matrici

 

Prendiamo due matrici

 

A= \underbrace{\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -1  \end{matrix} \right]}_{(2,3)} \ \ B = \underbrace{\left[ \begin{matrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \\ 0 & 3  \end{matrix} \right]}_{(3,2)}

 

E proponiamoci di eseguire il prodotto AB. Possiamo farlo? Certo! Quale sarà la dimensione della matrice prodotto? In base a quanto scritto in precedenza, essa avrà 2 righe e 2 colonne.

 

Vediamo ora come si esegue praticamente:

 

1) Si considerano: la prima riga della matrice A:

 

R_1 (A) =(1,0,2)

 

e la prima colonna della matrice B:

 

C_1 (B)= \left( \begin{matrix}4 \\ -2 \\ 0 \end{matrix}\right)

 

 

2) Si moltiplica il primo elemento della prima riga di A col primo elemento della prima colonna di B e tale elemento si somma al prodotto tra il secondo elemento della prima riga di A e il secondo elemento della prima colonna di B, e così via, fino ad esaurire tutti gli elementi della riga di A:

 

1 \cdot 4\ + \ 0 \cdot (-2) \ + \ 2 \cdot 0 = 4

 

Osservate che, allo stesso tempo, si saranno esauriti anche gli elementi della colonna di B e questo per il semplice fatto che, per poter eseguire il prodotto, il numero delle colonne della prima matrice deve essere uguale al numero delle righe della seconda.

 

 

3) L'elemento ottenuto al punto 2) sarà l'elemento occupante il posto prima riga, prima colonna della matrice prodotto

 

 

4) Si ripete il procedimento visto al punto 2) considerando la sempre la prima riga di A:

 

R_1 (A)= (1,0,2)

 

con, questa volta, la seconda colonna della matrice B:

 

C_2 (B)= \left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right)

 

Ottenendo quindi:

 

1 \cdot 1\ + \ 0 \cdot 2 \ + \ 2 \cdot 3 = 7

 

che sarà l'elemento di posto prima riga, seconda colonna della matrice prodotto.

 

 

Bene. Nel corso della lettura avrete notato alcune parole sono state evidenziate con un colore diverso. Cosa abbiamo voluto, effettivamente evidenziare?

 

Moltiplicando, nel modo visto, la prima riga di A con la prima colonna di B abbiamo ottenuto l'elemento che occuperà il posto: prima riga, prima colonna della matrice prodotto, mentre moltiplicando la prima riga con la seconda colonna abbiamo ottenuto l'elemento che occuperà il posto prima riga, seconda colonna nella matrice prodotto...

 

Tenete ben presente tutto questo! Spesso infatti, durante il prodotto tra matrici, sorgono dubbi riguardo alla posizione dell'elemento calcolaro. Capita...Basta controllare il numero di riga e di colonna che abbiamo moltiplicato tra loro.

 

In queste righe, fra l'altro, abbiamo fornito la risposta alla domanda che ci eravamo posti all'inizio. Il prodotto tra matrici, viene detto prodotto riga per colonna proprio perché si effettua questa particolare operazione tra le righe della prima matrice e le colonne della seconda.

 

 

Riprendiamo il calcolo dal punto in cui ci siamo fermati. Eravamo arrivati a:

 

A B =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -1  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \\ 0 & 3  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 4 & 7 \\  &  \end{matrix}\right]

 

Ci mancano ancora due elementi. L'elemento a_{21} (secoda riga, prima colonna) e a_{22} (seconda riga, seconda colonna) della matrice prodotto.

 

Come ormai dovreste aver capito, l'elemento a_{21} si otterà dal particolare prodotto prima visto tra la seconda riga di A e la prima colonna di B, ovvero:

 

a_{21}=0\cdot 4 + 3 \cdot -2 + (-1) \cdot 0 = -6

 

e allo stesso modo:

 

a_{22}= 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 3

 

Possiamo così concludere che

 

A B =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -1  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \\ 0 & 3  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 4 & 7 \\ -6 & 3 \end{matrix}\right]

  

Raccogliamo un attimo le idee: ora che abbiamo capito come eseguire il prodotto tra matrici, dobbiamo solo acquisire un po' di confidenza dopodiché il calcolo diventerà agevole e lo svolgeremo in due passaggi.

 

\underbrace{\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 3 & 2 & 0  \end{matrix} \right]}_{(3,3)} \underbrace{\left[ \begin{matrix} 7 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 4  \end{matrix} \right]}_{(3,2)} = \underbrace{\left[ \begin{matrix} 1 \cdot 7 + 0 \cdot 1 + \ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + \ 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 7 + 5 \cdot 1 + \ (-1) \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + \ (-1) \cdot 4 \\ 3 \cdot 7 + 2 \cdot 1 + \ 0 \cdot 0 & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + \ 0 \cdot 4 \end{matrix}\right]}_{(3,2)}=

 

=\left[\begin{matrix} 7 & 5 \\ 12 & -3 \\ 23 & 3  \end{matrix} \right]

 

Proprietà del prodotto tra matrici

 

Il prodotto tra due matrici non è commutativo

 

Onde evitare fraintendimenti, lo avevamo già accennato all'inizio: il prodotto tra matrici non è commutativo. Come abbiamo già visto, date due matrici A e B, può capitare che il prodotto A B possa essere eseguito e che non si possa calcolare BA.

 

Se invece siamo di fronte a due matrici quadrate aventi lo stesso numero di righe (o colonne) possiamo eseguire sia il prodotto AB sia il prodotto BA, ma non è detto che diano la stessa matrice come risultato.

 

A titolo di esempio prendiamo le due matrici:

 

A= \left[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \ \ B= \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right]

 

A voi i conti...Non è difficile verificare che

 

A B= \left[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right]

 

Mentre:

 

B A = \left[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right]

 

 

Il prodotto tra due matrici è associativo

 

Date tre matrici, nell'ipotesi in cui il prodotto sia eseguibile, avremo:

 

A (B C) = (A B)C

 

Distributività del prodotto tra matrici rispetto alla somma

 

A (B+C)= A B + A C

 

sempre ammesso che il prodotto sia eseguibile. Wink

 

Elemento neutro rispetto al prodotto tra matrici

 

Moltiplicando una matrice per la matrice identità si ottiene la matrice di partenza.

 

Prodotto con la matrice nulla

 

Moltiplicando qualsiasi matrice per la matrice nulla si ottiene la matrice nulla (matrice costituita da soli zeri).

 

Il prodotto tra matrici in Matematichese

 

Il prodotto tra matrici viene trattato a partire dai corsi universitari di base, ragion per cui riteniamo necessario che uno studente, una volta capito come eseguire tale operazione, debba essere in grado di esprimere il tutto in termini matematici rigorosi. Vediamo come.

 

Siano A\in Mat(m,n,\mathbb{K}), \ B \in Mat(n,p,\mathbb{K}), ovvero in forma compatta

 

A=\left(a_{ij} \right)_{\begin{matrix} 1\leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \end{matrix}}

 

B=\left(b_{ij} \right)_{\begin{matrix} 1\leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p \end{matrix}}

 

Allora, detta C= \left( c_{ij} \right)\in Mat(m,p,\mathbb{K}) la matrice prodotto tra A e B, ovvero C=AB, gli elementi di C sono dati da:

 

c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} {a_{ik} b_{kj}}, \ \forall i \in \{1,2,..,m\}, \ \forall j \in \{1,2,..,p\}

 

A voi il compito di applicare tale formula e verificare che in effetti tutto torna, ricordando che, in caso di dubbi, problemi o perplessità varie, potete fare le vostra domande nel Forum. Wink

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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