Prodotto di una matrice per uno scalare

A volte capita, molto di rado, nei classici esercizi di Algebra Lineare che hanno a che fare con le matrici, di dover moltiplicare una matrice per uno scalare.

 

Tale operazione, sebbene estremamente semplice da eseguire praticamente, riveste però un ruolo chiave. Essa infatti, come vedremo tra un istante, è una delle basi per poter definire lo spazio vettoriale delle matrici che molto spesso incontrerete nei vari corsi di Algebra Lineare.

 

Cos'è il prodotto di una matrice per uno scalare

 

Sia A una matrice ad elementi in \mathbb{R}, avente m righe ed n colonne, ovvero, per farla breve, sia: A \in \mathbb{R}^{(m,n)} e sia \lambda \in \mathbb{R} che qui di seguito chiameremo scalare.

 

 

Il prodotto della matrice A per lo scalare \lambda è una nuova matrice, avente lo stesso numero di righe e di colonne della matrice A, che si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per lo scalare \lambda.

 

Se, ad esempio: A \in Mat(3,2,\mathbb{R})

 

A=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 4 & 6 \\ -3 & 5\end{matrix}\right] e \lambda=2

 

allora

 

\lambda \cdot A = \lambda \cdot\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 4 & 6 \\ -3 & 5\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot (-2) \\ 2 \cdot 4 & 2 \cdot 6 \\ 2 \cdot (-3) & 2 \cdot 5\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ 8 & 12 \\ -6 & 10\end{matrix}\right]

 

Proprietà del prodotto di una matrice per uno scalare

 

Siano \lambda, \ \mu \in \mathbb{R} e A, \ B \in Mat(m,n,\mathbb{R})

 

(1) Proprietà distributiva del prodotto (di una matrice per uno scalare) rispetto alla somma tra matrici:

 

\lambda \cdot (A+B) = \lambda \cdot A + \lambda \cdot B

 

(2) Proprietà distributiva del prodotto (di una matrice per uno scalare) rispetto alla somma tra scalari:

 

(\lambda + \mu) \cdot A = \lambda \cdot A + \mu \cdot A

 

(3) Proprietà associativa:

 

\lambda \cdot (\mu \cdot A)= (\lambda \mu) \cdot A

 

(4) 1 \in \mathbb{R} è l'elemento neutro di tale operazione, ovvero:

 

1 \cdot A = A

 

 


 

 

Dopo aver visto nel concreto come si esegue il prodotto di una matrice per uno scalare, è giunto il momento di "alzare il tiro". Laughing

 

Indicata con " \cdot " l'operazione di prodotto di una matrice per uno scalare, da quanto visto poco, possiamo affermare che:

 

"\cdot" \ : \ \mathbb{R} \times Mat(m,n,\mathbb{R}) \ \to \ Mat(m,n,\mathbb{R})

 

Ovvero tale operazione, è un'operazione binaria esterna, che alla coppia (scalare, matrice) associa una nuova matrice definita come sopra e che soddisfa le proprietà (1), (4).

 

Tale discorso, ovviamente, vale in generale, a patto di considerare le matrici ad elementi in un campo \mathbb{K} qualsiasi.

 

Come già avevamo anticipato all'inizio, l'operazione interna di somma tra matrici e l'operazione esterna (appena introdotta) di matrice per uno scalare, con le proprietà che si portano dietro, permettono di affermare che:

 

(Mat(m,n, \mathbb{K}), \ +, \ \cdot ) è uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{K}, dove, ribadiamo ancora una volta:

 

"+" indica l'usuale somma tra matrici e 

 

"\cdot" indica il prodotto di una matrice per uno scalare, da non confondere col prodotto tra matrici (di cui ci occuperemo nella prossima lezione).

 

 


 

 

Per chi ha già un po' di dimestichezza col calcolo del determinante segnaliamo questa interessante proprietà: se A è una matrice quadrata di ordine n e \lambda è uno scalare diverso da zero, allora:

 

det(\lambda \cdot A) = \lambda^n \ det(A) 

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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