Somma di matrici

In quest'articolo vedremo quando e come si può calcolare la somma di matrici e tutte le proprietà inerenti la somma-differenza di matrici. A proposito: se te la fossi persa, dai un'occhiata alla lezione introduttiva sulle matriciWink

 

Quando si possono sommare due o più matrici?

 

Consideriamo due matrici A e B i cui elementi sono numeri reali. Le due matrici sono sommabili se e solo se sono dello stesso tipo, cioè se e solo se hanno lo stesso numero di righe e di colonne. Tale somma si indica, come di consueto, con:

 

A+B

 

e, come ci si aspetta, la somma delle due matrici è semplicemente una matrice avente lo stesso numero di righe e di colonne delle due matrici che abbiamo sommato.

 

In simboli, se A, \ B \ \in \mathbb{R}^{(m,n)}, allora A+B \in \mathbb{R}^{(m,n)}.

 

Come calcolare la somma di due matrici

 

Ora che sappiamo quando è possibile sommare due matrici, vediamo come si esegue tale somma. Quale miglior modo di partire se non con un esempio? Laughing

 

Siano:

 

A=\left[ \begin{matrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & -2 & 4  \end{matrix}\right] \ \ \ B=\left[ \begin{matrix} 7 & -5 & 2 \\ -9 & 4 & -1  \end{matrix}\right]

 

e proponiamoci si sommarle. Possiamo farlo? Certo! Infatti sia A che B hanno 2 righe e 3 colonne. Come già detto poco fa, la loro somma sarà una nuova matrice avente 2 righe e 3 colonne e i cui elementi si ottengono dalla somma fra gli elementi di A e di B che occupano la stessa posizione, ovvero:

 

A+B=\left[ \begin{matrix} 2+7 & 5+(-5) & -3+2 \\ 1+(-9) & -2+4 & 4+(-1)  \end{matrix}\right] \ = \ \left[ \begin{matrix} 9 & 0 & -1 \\ -8 & 2 & 3  \end{matrix}\right]

 

Ora è il vostro turno! Tongue out Sommate (se possibile) le seguenti coppie di matrici:

 

1) A=\left[ \begin{matrix} -1 & 8 & 4 \\ 3 & -2 & 6 \\ 9 & -5 & -3 \end{matrix}\right] \ \ \ B=\left[ \begin{matrix} 10 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ -5 & 2 & 3  \end{matrix}\right]

 

2) A=\left[ \begin{matrix} 7 & 12 \\ -3 & 4 \\ -9 & 25 \end{matrix}\right] \ \ \ B=\left[ \begin{matrix} 4 & -12 & 8 \\ -7 & 11 & -1  \end{matrix}\right]

 

Differenza di matrici e matrice opposta

 

Data una matrice A \in \mathbb{R}^{(m,n)}, l'opposta di A è una nuova matrice che indicheremo con -A \in \mathbb{R}^{(m,n)} i cui elementi saranno gli opposti dei relativi elementi di A. Per intenderci, per ottenere la matrice opposta, basta prendere la matrice A e "cambiare il segno" a tutti i suoi elementi.

 

Ad esempio, se 

 

A=\left[ \begin{matrix} 1 & 5 & -3 \\ -4 & 0 & 7  \end{matrix} \right]

 

allora

 

-A=\left[ \begin{matrix} -1 & -5 & 3 \\ 4 & 0 & -7  \end{matrix} \right]

 

La nozione di matrice opposta viene introdotta per definire la differenza di matrici a partire dalla somma.

 

Date due matrici A e B dello stesso tipo, la loro differenza, proprio come è successo per la somma, è una matrice dello stesso tipo delle precedenti, che si ottiene sommando A con l'opposta di B, ovvero:

 

A-B=A+(-B)

 

Proprio per questo, generalmente, non si parla di somma o di differenza tra matrici, ma molto più semplicemente di somma algebrica cioè non si fa alcuna differenza tra somma e differenza nel senso classico, cui siamo abituati sin dalla scuola media.

 

Proprietà della somma (algebrica) tra matrici

 

Da questo punto in poi, senza ripeterci ogni volta, daremo per scontato che tutte le matrici, che indicheremo con A, \ B, \ C, abbiano elementi in \mathbb{R} e siano dello stesso tipo, ovvero supponiamo che: A, \ B, \ C \in \mathbb{R}^{(m,n)}

 

Proprietà commutativa: A+B = B+A.

 

Esempio: siano 

 

A=\left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ 10 & 4 \end{matrix}\right] \ \ \ B=\left[ \begin{matrix} -6 &  8 \\ -11 & 1  \end{matrix}\right]

 

allora

 

A+B=\left[ \begin{matrix} 2-6 &  -5+8 \\ 10-11 & 4+1  \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} -4 &  3 \\ -1 & 5  \end{matrix}\right]

 

B+A=\left[ \begin{matrix} -6+2 &  8-5 \\ -11+10 & 1+4  \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} -4 &  3 \\ -1 & 5  \end{matrix}\right]

 

 

Proprietà associativa: (A+B)+C = A+(B+C).

 

Verifichiamo che la somma di matrici è associativa considerando:

 

A=\left[ \begin{matrix} 3 & -6 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right] \ \ \ B=\left[ \begin{matrix} -2 &  3 \\ -1 & 4 \\ 5 & 6  \end{matrix}\right] \ \ \ C = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 9 & -5 \end{matrix}\right]

 

(A+B)+C= \overbrace{\left[ \begin{matrix} 3-2 & -6+3 \\ 1-1 & 0+4 \\ 2+5 & 1+6 \end{matrix} \right]}^{A+B} + \overbrace{\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 9 & -5\end{matrix}\right]}^{C}=

 

=\left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ 0 & 4 \\ 7 & 7 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 9 & -5 \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ -2 & 9 \\ 16 & 2 \end{matrix}\right]

 

e, procedendo allo stesso modo:

 

A+(B+C)=\overbrace{\left[ \begin{matrix}3 & -6 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right]}^{A} + \overbrace{\left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ -3 & 9 \\ 14 & 1 \end{matrix}  \right]}^{B+C} = \left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ -2 & 9 \\ 16 & 2 \end{matrix} \right]

 

 

Elemento neutro: esiste una matrice che indicheremo con O e chiameremo matrice nulla, avente stessa dimensione della matrice A, ovvero O \in \mathbb{R}^{(m,n)}, i cui elementi sono tutti nulli, tale che:

 

A+O \ = \ A \ = \ A+O

 

 

Esistenza dell'opposto: come abbiamo già visto precedentemente, per ogni matrice A è possibile definire la matrice opposta. Tale opposta è tale che:

 

A+(-A) \ = \ O \ = \ (-A)+A

 

dove con O indichiamo la matrice nulla.

 

 


 

 

Ricapitolando, indicata con "+" l'operazione di somma tra matrici appena vista, si ha che:

 

"+" \ : \ Mat(m,n,\mathbb{R}) \ \times \  Mat(m,n,\mathbb{R}) \ \to \ Mat(m,n,\mathbb{R})

 

ovvero siamo di fronte ad un'operazione binaria interna che a due matrici dello stesso tipo ne associa una terza i cui elementi saranno, nell'ordine, la somma degli elementi tra le prime due matrici, e, tale operazione gode della proprietà poco fa enunciate.

 

Chi ha già masticato un po' di algebra astratta, avrà subito notato che tali proprietà sono quelle che definiscono un gruppo abeliano (o commutativo), ovvero:

 

\left( Mat(m,n,\mathbb{R}), \ + \right) è un gruppo abeliano

 

dove con Mat(m,n,\mathbb{R}) indichiamo l'insieme di tutte le matrici aventi m righe ed n colonne, ad elementi nel campo \mathbb{R} e con + indichiamo l'operazione di somma (algebrica) tra matrici.

 

Più in generale potremmo affermare che i discorsi appena fatti valgono per ogni matrice avente elementi in un campo \mathbb{K} qualsiasi e quindi, in particolare:

 

\left( Mat(m,n,\mathbb{K}), \ + \right) è un gruppo abeliano

 

 


 

Tutto chiaro? Nella prossima lezione proseguiremo con la rassegna delle operazioni tra matrici e ci occuperemo del prodotto di una matrice per uno scalare. Nel frattempo in caso di dubbi non esitare: usa la barra di ricerca interna e trova le risposte che cerchi, e se ancora non bastasse...apri un topic nel Forum. Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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