Matrice e tipi di matrici

Ciao ragazzi! In questa lezione vedremo cos'è una matrice ed inizieremo a prendere la mano con alcuni concetti che ricorrono spesso in Algebra Lineare. Visto che la carne da cuocere è tanta, non perdiamoci in chiacchiere...Laughing

 

Cos'è una matrice

 

Una matrice è semplicemente una tabella ordinata di elementi. Ad esempio

 

\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right]

 

è una matrice i cui elementi sono numeri reali. Le righe orizzontali vengono dette righe della matrice, quelle verticali son dette colonne.

 

Come scrivere una matrice

 

Generalmente una generica matrice si indica con una lettera maiuscola e viene scritta in questo modo:

 

A=\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\end{matrix}\right]

 

dove i pedici di ogni lettera hanno un significato ben precisoil primo numeretto indica la riga in cui l'elemento si trova, il secondo ne indica invece la colonna.

 

Ecco perché poco fa parlavamo di tabella ordinata. Ogni elemento ha un posto ben preciso che gli spetta! Ad esempio a_{13} indica l'elemento di una matrice che si trova alla prima riga, terza colonna.

 

Insomma: lavorare con le matrici è un po' come giocare a battaglia navale. Tongue out

 

Guardiamo meglio la matrice che abbiamo scritto. Quante righe ha? E quante colonne?

 

Per individuarle basta guardare i pedici dell'ultimo elemento in basso a destra. Esso è a_{mn}, pertanto la nostra matrice ha:

 

\bullet\ m righe

\bullet\ n colonne.

 

Diremo quindi che è una martrice di tipo (m,n) o, se i suoi elementi sono numeri reali, che essa appartiene ad \mathbb{R}^{m,n}

 

Esempio di matrice

 

Sia A=\left[ \begin{matrix} -1 & 5 & 8 \\ 3 & -1 & 7 \\ 15 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right]

 

- Di che tipo è?

 

Avendo 4 righe e 3 colonne è una matrice di tipo (4,3).

 

- A cosa appartiene?

 

Essendo i suoi elementi numeri reali, A \in \mathbb{R}^{4,3}

 

- Quale elemento occupa la posizione a_{41} ?

 

Dobbiamo individuare l'elemento che occupa la posizione: quarta riga, prima colonna. In tale posizione c'è uno zero, pertanto: a_{41}=0

 

Nomi e principali definizioni per le matrici

 

Concludiamo questo articolo introducendo e dando un nome ad alcune particolari matrici e ad alcuni loro particolari elementi. Per il momento potrebbero sembrare concetti buttati lì, senza un senso, ma li incontrerete talmente tanto spesso che faranno parte del vostro bagaglio culturale in eterno. Tongue out

 

Iniziamo con l'introdurre una piccola notazione che incontrete spesso sia qui su YouMath che sui libri.

 

Per indicare che A è una matrice avente m righe ed n colonne, i cui elementi sono numeri reali, scriveremo:

 

A \in \mathbb{R}^{m,n}

 

o equivalentemente: A \in Mat(m,n,\mathbb{R}).

 

Più in generale, se i suoi elementi appartengono al campo \mathbb{K}, scriveremo:

 

A \in \mathbb{K}^{m,n}

 

oppure A \in Mat(m,n,\mathbb{K}).

 

Matrice riga: è una matrice di tipo (1,n), ossia una matrice riga è, come suggerisce il nome stesso, una matrice formata da una sola riga, indipendentemente dal numero delle colonne. Alcuni esempi di matrice riga, a volte detta vettore riga, sono

 

\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 2 & 3 \end{matrix}\right] \in \mathbb{R}^{1,4} \ \ \ \left[ \begin{matrix} \frac{1}{3} & 2 \end{matrix}\right]\in \mathbb{R}^{1,2}

 

Matrice colonna: è una matrice formata da una sola colonna, ossia del tipo (m,1). Ad esempio

 

\left[ \begin{matrix} -3 \\ 5 \\ 3 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}\right] \in \mathbb{R}^{5,1} \ \ \ \left[ \begin{matrix} 6 \\ 2 \\ -5 \end{matrix}\right] \mathbb{R}^{3,1}

 

sono due matrici colonna altrimenti dette vettori colonna.

 

Matrice rettangolare: è una matrice in cui il numero delle righe è diverso dal numero delle colonne, ovvero m \neq n. Non importa quante esse siano. L'importante è che non siano in ugual numero.

 

Matrice quadrata: è una matrice che ha il numero di righe uguale al numero di colonne. Tali matrici rivestono un ruolo fondamentale in Algebra Lineare. Sono infatti le uniche per cui si può calcolare il determinante e cercare la matrice inversa (se esiste). Per dire, in matematichese, che una matrice A (i cui elementi vivono in un campo \mathbb{K}) è quadrata, scriveremo:

 

A \in \mathbb{K}^{n,n} oppure A \in Mat(n,\mathbb{K})

 

Per approfondire, vedi: matrice quadrata.

 

 

Dimensione di una matrice: chiamiamo dimensione di una matrice il prodotto tra il numero di righe e il numero di colonne. Tale prodotto va indicato solo come prodotto e non come numero: ad esempio se una matrice A ha m righe e n colonne, diciamo che A ha dimensione m\times n.

 

Ordine di una matrice quadrata: l'ordine di una matrice quadrata è il numero di righe o equivalentemente il numero di colonne. Ad esempio una matrice quadrata con n righe ed n colonne ha ordine n.

 

Diagonali di una matrice quadrata: data una matrice quadrata diremo

 

- diagonale principale la diagonale che va dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra;

 

- diagonale secondaria (o antidiagonale) la diagonale che va dall'angolo in alto a destra all'angolo in basso a sinistra;

 

Nella seguente matrice abbiamo indicato in rosso gli elementi della diagonale principale ed in blu quelli della diagonale secondaria:

 

\left[ \begin{matrix} {\color{red}-4} & 9 & 1 \\ 15 & {\color{red}-81} & 7 \\ 5 & 12 & {\color{red}44} \end{matrix}\right] \ \ \ \left[ \begin{matrix} -4 & 9 & {\color{blue}1} \\ 15 & {\color{blue}-81} & 7 \\ {\color{blue}5} & 12 & 44 \end{matrix}\right]

 

Matrice diagonale: è una matrice quadrata in cui i soli termini della diagonale principale possono essere diversi da zero. In formule:

 

A \in \mathbb{R}^{(n,n)} è diagonale se e solo se \forall i,j \in \{ 1,2,...,n\}, \ i \neq j: a_{ij}=0

 

Le seguenti sono matrici diagonali:

 

\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix}\right] \ \ \ \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{matrix}\right]

 

Per approfondire, vedi matrice diagonale.

 

Matrice antidiagonale: è una matrice quadrata in cui i soli termini della diagonale secondaria possono essere diversi da zero. Ad esempio:

 

\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 7 \\ 0 & 15 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \ \ \ \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]

 

Matrice identità: si indica generalmente con I ed è una matrice diagonale avente tutti uno sulla diagonale principale e tutti zero altrove. Non importa quante righe o colonne abbia. In simboli:

 

I \in \mathbb{R}^{(n,n)}, \ \forall i,j \in \{ 1,2,...,n\}: \begin{cases} a_{ij}=0 \ se \ i \neq j \\ a_{ij}=1 \ se \ i=j \end{cases}

 

Ovviamente non importa quanto valga n, ovvero quante righe (o colonne abbia la matrice). Ad esempio:

 

\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \ \ \ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \ \ \  \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right]

 

sono tutte matrici identità (click per approfondire).

 

Matrice nulla: se capita di incontrare il simbolo \underline{0} nel contesto delle matrici, sappiate che \underline{0}\in Mat(m,n,\mathbb{K}) o \underline{0}\in Mat(m,n,\mathbb{R}) indica la matrice costituita da soli zeri. Se la matrice è a componenti reali, ogni elemento sarà lo zero del campo reale; se la matrice è a componenti in \mathbb{K}, allora ogni elemento sarà lo zero del campo \mathbb{K}.

 

Matrice opposta: data una qualsiasi matrice A la sua opposta (che è sempre definita) si indica con -A ed è la matrice che si ottiene cambiando di segno tutti gli elementi della matrice A. Se avete già avuto modo di studiare il prodotto di una matrice per uno scalare, l'opposta di una matrice A si definisce come

 

-A=-1 \cdot A

 

Inoltre, una volta definita la somma tra matrici, la somma di una matrice con la sua opposta ci dà la matrice nulla, ossia A+(-A)=\underline{0}.

 

Matrice triangolare superiore: è una matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale uguali a zero. In matematichese:

 

A \in\mathbb{R}^{(n,n)} è triagolare superiore se e solo se \forall i,j \in \{ 1,2,...,n\}, \ i \textgreater j: a_{ij}=0

 

Per capire a fondo tale scrittura ed avere un esempio di matrice triangolare superiore, scriviamo una matrice 3x3 nella forma generale:

 

\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{red}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ {\color{red}a_{31}} & {\color{red}a_{32}} & a_{33}\end{matrix}\right]

 

Gli elementi evidenziati in rosso sono quelli in cui l'indice di riga i è maggiore dell'indice di colonna j. Affinché la matrice sia triangolare superiore tali elementi devono essere uguali a zero, quindi, ad esempio, la seguente è una matrice triangolare superiore:

 

\left[ \begin{matrix} 5 & 7 & 0 \\ 0 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & -3\end{matrix}\right]

 

Matrice triangolare inferiore: è una matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale uguali a zero. A voi il compito, aiutandovi con quanto visto per la matrice triangolare superiore di scrivere la definizione rigorosa e di fare un esempio Laughing

 

 


 

Per il momento è tutto! Nel seguito vedremo quali sono le operazioni tra matrici e ne vedremo i tantissimi utilizzi. Nel frattempo per domande non esitare e cerca su YM, abbiamo risposte per ogni dubbio. E se il tuo dubbio dovesse essere mooolto particolare...parliamone insieme nel Forum! Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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