Distanza di un punto da una retta nello spazio

Tra le varie richieste che possono presentarsi in un esercizio di Geometria potrebbe capitarci di dover calcolare la distanza di un punto da una retta nello spazio. In questo articolo presentiamo un metodo di calcolo molto rapido, e spieghiamo l'idea geometrica che ne sta alla base.

 

Come calcolare la distanza di un punto da una retta nello spazio

 

Abbiamo una retta r nello spazio euclideo \mathbb{E}^3 e un punto P: la consegna prevede di determinare la distanza del punto dalla retta, che denoteremo con d(P,r). Supponiamo che il punto non appartenga alla retta, altrimenti la richiesta sarebbe banale, infatti la distanza sarebbe zero.

 

Prima vediamo il metodo in astratto e successivamente lo applichiamo ad un esempio concreto.

 

La retta r potrebbe essere definita in due modi: mediante equazioni cartesiane o tramite equazioni parametriche. Non sussiste una gran differenza nel metodo che stiamo per introdurre, perché...

 

 

1) Calcoliamo la direzione della retta r, sia essa v_r=[v_x,v_y,v_z].

 

Se r è definita in forma parametrica trovarne la direzione è semplicissimo, basta considerare il vettore dei coefficienti dei termini parametrici e prenderli ordinatamente. Se invece la retta è data in forma cartesiana bastera procedere come indicato qui: direzione di una retta nello spazio.

 

 

2) Scriviamo l'equazione cartesiana del piano \pi ortogonale alla retta r e passante per il punto P.

 

Come si fa? Come indicato qui: piano passante per un punto e ortogonale a una retta.

 

Tale piano sarà della forma

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

 

3) Individuiamo la proiezione del punto P sulla retta r, sia essa P', come intersezione tra la retta e il piano.

 

Si capisce subito perché tale punto di intersezione è proprio la proiezione di P su r: il piano \pi è proprio il piano passante per P e ortogonale alla retta r !

 

Per ricavare l'intersezione tra retta e piano sarà sufficiente:

 

 

3.a) mettere a sistema le equazioni cartesiane di retta e piano, nel caso in cui la retta sia data in forma cartesiana. Otteniamo così un sistema di 3 equazioni in tre incognite.

 

3.b) Se la retta è definita parametricamente è sufficiente sostituire le coordinate parametriche x(t),y(t),z(t) nell'equazione cartesiana di \pi. In questo modo si passa ad un'unica equazione, la cui soluzione t=\overline{t} individua il punto P' su r (si dovrà sostituire il valore \overline{t} nelle equazioni parametriche di r).

 

 

4) Abbiamo il punto P e la sua proiezione P' su r, e ci siamo: la distanza di un punto da una retta è definita come la distanza del punto dalla sua proiezione dalla retta. Non ci resta che calcolare d(P,r) come distanza euclidea tra due punti, con la solita formula

 

d(P,r)=d(P,P')=\sqrt{(x_P-x_{P'})^2+(y_P-y_{P'})^2+(z_P-z_{P'})^2}

 

Esempio sul calcolo della distanza di un punto da una retta nello spazio

 

Si calcoli la distanza tra la retta di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=2-t\\ y=-3t\\ z=4\end{cases}

 

e il punto P=(1,1,1).

 

Svolgimento: per prima cosa osserviamo che il punto P non appartiene alla retta r, infatti se ne sostituiamo le coordinate x=1,y=1,z=1 nelle equazioni parametriche vediamo che non esiste alcun valore di t che verifica tutte e tre le equazioni.

 

La direzione della retta è molto semplicemente v_r=[-1,-3,0].

 

Il piano \pi ortogonale a r e passante per P si determina prendendo la generica equazione cartesiana di un piano

 

\pi: ax+by+cz+d=0

 

dove sostituiamo il vettore dei parametri direttori (a,b,c) con il vettore della direzione ortogonale, cioè con il vettore che individua la direzione della retta

 

(a,b,c)=(-1,-3,0)

 

Abbiamo così

 

\pi: -x-3y+d=0

 

A questo punto imponiamo il passaggio per P per determinare il termine incognito d

 

-(1)-3(1)+d=0\ \to\ d=4

 

cosicché il piano cercato ha equazione

 

\pi:\ -x-3y+4=0

 

Calcoliamo il punto di intersezione tra piano e retta sostituendo le coordinate parametriche di r nell'equazione di \pi

 

-(2-t)-3(-3t)+4=0\to\ t=-\frac{1}{5}

 

Per trovare le coordinate della proiezione del punto sulla retta, cioè di P', sostituiamo il valore del parametro nelle equazioni parametriche della retta

 

r:\ \begin{cases}x=2-\left(-\frac{1}{5}\right)\\ y=-3\left(-\frac{1}{5}\right)\\ z=4\end{cases}\Rightarrow P'=\left[\frac{11}{5},\frac{3}{5},4\right]

 

e abbiamo praticamente finito. Dobbiamo solo applicare la formula per calcolare la distanza tra i punti P,P'

 

d(P,r)=d(P,P')=\sqrt{\left(1-\frac{11}{5}\right)^2+\left(1-\frac{3}{5}\right)^2+\left(1-4\right)^2}

 

Dato che siamo dispettosissimi, lasciamo il conto a voi... Tongue

 

 


 

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Agente Ω

 

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