Piano contenente due rette

Vediamo come esaudire una classica richiesta che ricorre negli esercizi di Geometria dello Spazio, e mostriamo il metodo che permette di determinare il piano contenente due rette assegnate (a patto che non siano sghembe!). Il procedimento cambia a seconda che le due rette siano incidenti o parallele: nel secondo caso dovremo fare un piccolo lavoro che ci permetta di ricondurci al primo.

 

Piano passante per due rette incidenti

 

Sappiamo che date due rette incidenti nello spazio esiste uno ed un solo piano che le contiene. Vi sono diversi modi per determinarlo, e l'approccio algebrico dipende dalla forma con cui sono fornite le due rette. A seconda dei casi potremo determinare le equazioni parametriche del piano oppure la rappresentazione cartesiana.

 

Chiamiamo le due rette incidenti r,s, il punto di incidenza P e \pi il piano che contiene le due rette incidenti. Distinguiamo tre diversi casi.

 

1) Se r,s sono rette date in forma parametrica il modo più veloce di procedere prevede di ricavare ad occhio le direzioni delle due rette. Dette esse v_r,v_s ci basterà calcolare le coordinate del punto di intersezione P, e per farlo confronteremo in un unico sistema le equazioni delle due rette.

 

Dopo aver ricavato il punto P potremo scrivere le equazioni parametriche del piano \pi come

 

\begin{cases}x(l,m)=x_P+lv_{x,r}+mv_{x,s}\\ y(l,m)=y_P+lv_{y,r}+mv_{y,s}\\ z(l,m)=z_P+lv_{z,r}+mv_{z,s}\end{cases}

 

dove si intende P=(x_P,y_P,z_P), v_r=(v_{x,r},v_{y,r},v_{z_{r}}) e v_{s}=(v_{x,s},v_{y,s},v_{z,s}). Di contro l,m\in\mathbb{R} sono due parametri liberi. Da qui, poi, potremo eventualmente ricavare l'equazione cartesiana a partire dalle equazioni parametriche.

 

2) Se entrambe le rette r,s sono definite da coppie di equazioni cartesiane, possiamo ricavare le direzioni v_{r},v_{s} calcolando due opportuni prodotti vettoriali. Il procedimento da seguire, per chi non lo conoscesse, è spiegato qui: direzione di una retta nello spazio.

 

Successivamente ci calcoliamo le coordinate del punto di intersezione tra le due rette P=(x_P,y_P,z_P), mettendo a sistema tutte le equazioni delle due rette: dovremo cioè risolvere un sistema di quattro equazioni in tre incognite.

 

A questo punto potremo determinare la direzione ortogonale al piano, che chiamiamo (a,b,c), calcolando il prodotto vettoriale tra v_r,v_s

 

(a,b,c)=v_r\times v_s

 

Il vettore ortogonale al piano è per definizione il vettore dei parametri direttori del piano, dunque possiamo scrivere l'equazione cartesiana del piano come

 

ax+by+cz+d=0\ (*)

 

dove d è un coefficiente incognito. Per determinarlo imponiamo la condizione di passaggio del piano per il punto P, sostituendo le coordinate di P nell'equazione

 

ax_P+by_P+cz_P+d=0\ \to\ d=-ax_P-by_P-cz_P

 

e risostituiamo il valore di d in (*). Abbiamo finito!

 

3) Se una delle due rette, diciamo r, è in forma parametrica e l'altra è in forma cartesiana (s) possiamo procedere come in 1) o come in 2) a patto di passare dalla forma parametrica della retta a quella cartesiana per r, oppure di passare dalla forma cartesiana a quella parametrica per s. A voi la scelta! :)

 

Volendo prima di procedere conviene trovare le coordinate del punto P con i dati forniti inizialmente. Per farlo basta sostituire le coordinate parametriche dei punti di r nelle due equazioni cartesiane che individuano s; in questo modo ricaviamo un sistema di due equazioni in una incognita, la cui soluzione (un valore del parametro) individua il punto P per sostituzione nelle equazioni parametriche di r.

 

Piano contenente due rette parallele

 

Nel caso in cui le rette r,s siano parallele la ricerca del piano \pi che le contiene entrambe cambia leggermente, almeno nella fase iniziale.

 

Sappiamo che per individuare univocamente un piano nello spazio abbiamo bisogno di un punto e di due direzioni linearmente indipendenti, il "problema" è che in questo contesto disponiamo di due rette parallele, dunque di due direzioni linearmente dipendenti. Vediamo un piccolo trucco...

 

Indipendentemente dal fatto che r ed s siano date in forma cartesiana o parametrica, possiamo determinare la direzione v=(v_x,v_y,v_z) comune ad entrambe (sono parallele...:)).

 

Prendiamo una delle due rette, diciamo r, e consideriamone un punto P=(x_P,y_P,z_P). Uno qualsiasi, non importa quale, purché appartenga alla retta r:

 

- nel caso in cui r sia definita mediante equazioni cartesiane ci basta trovare le coordinate di un punto che soddisfino entrambe le equazioni (e ribadiamo che la scelta è del tutto arbitraria).

 

- nel caso di equazioni parametriche, invece, potremo assegnare al parametro un valore arbitrario e sostituirlo nelle tre equazioni (possibilmente un valore comodo).

 

Prendiamo poi l'altra retta, s, e consideriamone un qualsiasi punto Q=(x_Q,y_Q,z_Q) che le appartiene.

 

Ci siamo! Possiamo usare i due punti P,Q per ricavare una direzione w che non dipende linearmente da v

 

w=P-Q

 

e avere così un punto di passaggio P per il piano \pi e due direzioni linearmente indipendenti tra di loro. Con questi ingredienti potremo procedere scrivere immediatamente le equazioni cartesiane o parametriche di \pi (si vedano a tal proposito le lezioni che le trattano, in ogni caso è un procedimento veramente molto semplice).

 


 

A questo punto ti aspetterai sicuramente qualche esempio, e fai bene...però non lo troverai qui! Ti basta usare la barra di ricerca e trovare tutto quello che ti serve tra le decine di migliaia di risposte ed esercizi risolti dallo Staff. E se ancora non bastasse, non esitare e apri una discussione nel Forum. Wink

 

Arvedze, see you soon guys!

Agente Ω

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: come ricavare le equazioni del piano passante per due rette - come trovare il piano contenente due rette.