Coefficienti direttori del piano

Il vettore dei coefficienti direttori, o dei parametri direttori di un piano, è un elemento di fondamentale importanza nella caratterizzazione dei piani nello spazio, perché ci permette di individuare in un colpo solo tutte e sole le direzioni parallele al piano.

 

Oltre a ciò nella risoluzione degli esercizi è proprio il vettore dei parametri direttori che ci consente di lavorare agilmente con un piano, e di esaudire praticamente tutte le eventuali richieste. Questo perché come già accennato è il vettore che identifica tutte le direzioni parallele al piano.

 

Cos'è il vettore dei coefficienti direttori?

 

Si dice che (a,b,c) è il vettore dei coefficienti direttori (parametri direttori) di un piano \pi se (a,b,c) è la direzione ortogonale a tutte le direzioni parallele al piano.

 

Vi è un immediato legame tra i parametri direttori e l'equazione cartesiana del piano, che permette di determinarli velocemente. Se disponiamo dell'equazione cartesiana

 

ax+by+cz+d=0

 

i coefficienti direttori di \pi sono proprio i coefficienti delle variabili x,y,z, presi ordinatamente

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0\ \to\ v_{dir}=(a,b,c)

 

 

Abbiamo detto che tale vettore individua la direzione ortogonale a tutte le direzioni parallele al piano (che per brevità, e con abuso di linguaggio, vengono anche chiamate direzioni del piano). Capirne il motivo non è complicato...

 

Consideriamo due punti P_1=(x_1,y_1,z_1),\ P_2=(x_2,y_2,z_2) appartenenti a un generico piano \pi:\ ax+by+cz+d=0, e consideriamo la direzione congiungente tali punti

 

P_2-P_1=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)

 

Essa è una direzione del piano. Dato che P_1,P_2\in \pi appartengono al piano, le rispettive coordinate devono soddisfare l'equazione cartesiana del piano

 

ax_1+by_1+cz_1+d=0\ ;\ ax_2+by_2+cz_2+d=0

 

Nulla ci vieta di prendere la differenza tra le due identità

 

a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1)=0

 

Abbiamo finito: se riscriviamo il membro di sinistra come sviluppo di un prodotto scalare

 

[a,b,c]\cdot [(x_2-x_1),(y_2-y_1),(z_2-z_1)]=0

 

vediamo che la direzione (a,b,c) è ortogonale a P_2-P_1. La tesi segue dall'arbitrarietà della scelta di P_1,P_2.

 

 

Esempio

 

Prendiamo il piano Oxy nello spazio euclideo Oxyz. Sappiamo che esso ha equazione cartesiana

 

z=0

 

cosicché il vettore dei parametri direttori di Oxy è (0,0,1). Tale vettore è ortogonale a tutte le direzioni parallele al piano dato, ed è in particolare perpendicolare ai vettori (1,0,0),(0,1,0) (versori degli assi).

 

Come determinare i coefficienti direttori di un piano

 

Nel caso in cui il piano sia definito mediante un'equazione cartesiana trovarne i parametri direttori è una sciocchezza: basta leggere i coefficienti dell'equazione (e - occhio! - se non ne compare qualcuno il corrispondente coefficiente è evidentemente zero).

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0\ \to\ (a,b,c)

 

Il caso ben più interessante si presenta quando abbiamo un piano definito mediante equazioni parametriche:

 

\pi:\ P(t,s)=Q+tv+sw

 

dove t,s\in\mathbb{R} sono parametri reali liberi, Q è un punto appartenente al piano \pi e v,w\in\mathbb{R}^3 sono due direzioni parallele al piano e linearmente indipendenti tra loro.

 

Nulla ci vieta di ricavare l'equazione cartesiana del piano a partire dalle equazioni parametriche, ma c'è un modo più veloce ed elegante di procedere. Basta ricordare che il prodotto vettoriale tra due vettori linearmente indipendenti è per definizione un vettore ortogonale ai due vettori di cui si calcola il prodotto.

 

Il gioco è fatto! Ci basterà calcolare il prodotto vettoriale tra le direzioni v,w del piano

 

v\times w\ \to\ (a,b,c)\mbox{ vettore dei parametri direttori }

 

 

Esempio

 

Individuare i parametri direttori del piano \pi definito dalle equazioni parametriche

 

\begin{cases}x=1+t\\ y=2-t+s\\ z=3\end{cases}

 

Non dovremo fare altro che prendere le direzioni v=(1,-1,0),w=(0,1,0) e calcolare

 

[1,-1,0]\times [0,1,0]=det\left[\begin{matrix}i & j & k\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]=1 \overrightarrow{k}=(0,0,1).

 

 


 

Abbiamo finito. :) Se dovessi avere qualche dubbio puoi cercare le risposte che ti servono con la barra di ricerca di YM, ne abbiamo a migliaia e per tutti i gusti...e se ancora non bastasse apri una discussione nel Forum.

 

Gule gule, see you soon guys!

Agente Ω

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: parametri direttori del piano - coefficienti direttori del piano - come ricavare i coefficienti direttori del piano.