Dalle equazioni parametriche del piano all'equazione cartesiana

Mostriamo ora il procedimento per passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana di un piano. Fatto ciò ci occuperemo (nella lezione successiva) di mostrare come effettuare il passaggio inverso.

 

Anche in questo caso il metodo è semplicissimo, e prevede di ricorrere a semplici operazioni algebriche. Prima di tutto vediamo il procedimento generale, dopodiché passere ad esempi specifici.

 

 

Supponiamo di avere un piano \pi espresso mediante equazioni parametriche nello spazio euclideo \mathbb{E}^3, dunque definito da equazioni del tipo

 

\pi:\ \begin{cases}x=x_P+tv_1+sw_1\\ y=y_P+tv_2+sw_2\\ z=z_P+tv_3+sw_3\end{cases}

 

Vogliamo determinare una rappresentazione cartesiana per \pi, e dunque ricavare un'equazione cartesiana del tipo

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

Come al solito il modus operandi dipende dal caso che si considera, per noi quello generale sarà quello in cui compare almeno uno tra i due parametri t,s\in\mathbb{R} in tutte e tre le equazioni. Tale metodo differisce di poco da quello da applicare nei casi particolari, che avremo cura di spiegare nel seguito.

 

Se i parametri t,s sono presenti in ciascuna delle tre equazioni procederemo nel modo seguente...

 

Scegliamo una delle tre equazioni, ad esempio z=z_P+tv_3+sw_3, e scegliamo uno dei due parametri t,s, ad esempio t.

 

Ricaviamo t in termini della variabile e dell'altro parametro (se presente), dunque nel nostro caso avremo un'espressione del tipo t=t(z,s)

 

t=\frac{1}{v_3}[z-z_P-sw_3].

 

Se ora sostituiamo tale espressione nelle altre due equazioni, otteniamo un sistema di due equazioni in tre incognite: x,y,s (tralasciamo la terza equazione da cui abbiamo ricavato l'espressione per il parametro t).

 

\begin{cases}x=x_P+\frac{1}{v_3}[z-z_P-sw_3]v_1+sw_1\\ y=y_P+\frac{1}{v_3}[z-z_P-sw_3]v_2+sw_2\end{cases}

 

Ora non ci resta che ricavare l'altro parametro, per noi s, in termini delle due variabili presenti nell'equazione. Dobbiamo sceglierlo tra le due a disposizione. Possiamo considerare l'equazione relativa a y e determinare una rappresentazione della forma s=s(y,z).

 

Abbiamo quasi finito: ci basterà sostituire l'espressione appena trovata nell'altra equazione, quella che non abbiamo ancora toccato

 

x=x_P+\frac{1}{v_3}[z-z_P-s(y,z)w_3]+s(y,z)w_1

 

Fine: quella che abbiamo appena scritto è proprio l'equazione cartesiana del piano che inizialmente era descritto in forma parametrica.

 

Il discorso potrà sembrare complicatissimo a causa delle notazioni generiche, ma nella pratica è tutta un'altra storia.

 

 

Esempio

 

Prendiamo il piano definito dal sistema di equazioni parametriche

 

\begin{cases}x=3+2t+s\\ y=t+s\\ z=1+t-s\end{cases}

 

e diamone una rappresentazione cartesiana. Ricaviamo t=s+z-1 dalla terza equazione e passiamo a considerare le altre due equazioni, sostituendovi t=t(z,s)

 

\begin{cases}x=3+2(s+z-1)+s\\ y=(s+z-1)+s\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=3+3s+2z-2\\ y=2s+z-1\end{cases}

 

Cerchiamo nella seconda la rappresentazione s=s(y,z), che possiamo determinare con semplici passaggi algebrici

 

s=\frac{1}{2}[y-z+1]

 

e per concludere poniamo s=s(y,z) nell'altra equazione

 

x=3+3\cdot \frac{1}{2}[y-z+1]+2z-2

 

da cui

 

x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}z+\frac{5}{2}.

 

Siamo finalmente giunti all'equazione cartesiana del piano!

 

2x-3y-z-5=0

 

 

Casi particolari

 

 

- Se solo in una delle tre equazioni parametriche di partenza non compare alcuno dei due parametri t,s, diciamo ad esempio

 

\begin{cases}x=x_P+tv_1+sw_2\\ y=y_P+tv_2+sw_2\\ z=z_P\end{cases}

 

allora non dobbiamo fare nulla: l'equazione cartesiana del piano sarà infatti data da

 

z=z_P

 

 

- E se avessimo due equazioni della forma variabile=costante ? Non può succedere: non avremmo a che fare con un piano, bensì con una retta! Wink

 

 


 

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Zbogom, see you soon guys!

Agente Ω

 

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