Piano tangente ad una sfera

La ricerca del piano tangente ad una sfera in un punto è una richiesta che ci permette di mettere in pratica un metodo algebrico piuttosto elegante, e che fa leva sulla definizione di equazione cartesiana di un piano nello spazio.

 

 

Supponiamo di avere una sfera, definita mediante un'equazione cartesiana del tipo

 

\Gamma:\ ax^2+bx+cy^2+dy+ez^2+fz+h=0\ (*)

 

o, in alternativa, già scritta come

 

\Gamma:\ (x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2\ (**)

 

dove C=(x_C,y_C,z_C) è il centro della sfera mentre r ne indica il raggio. Immaginiamo di voler determinare l'equazione del piano tangente a \Gamma, sia esso \pi, in un punto P\in\Gamma.

 

Nel caso in cui l'equazione della sfera sia scritta nella forma (*) la prima cosa da fare sarà riscriverla come in (**). Per farlo potremo applicare il metodo di completamento dei quadrati per ciascuna delle tre variabili x,y,z, e ricavare così la misura del raggio e le coordinate del centro della sfera.

 

 

A questo punto possiamo procedere, basandoci su una semplicissima osservazione: per individuare un piano nello spazio ci bastano un punto di passaggio e la direzione perpendicolare al piano. Tali ingredienti ci permettono di scriverne l'equazione cartesiana molto velocemente.

 

 

D'altra parte, sappiamo che il raggio che congiunge il centro della sfera al punto di tangenza è ortogonale al piano tangente. Possiamo allora ricavare la direzione normale al piano \pi, cioè il vettore dei parametri direttori del piano, calcolando la direzione del raggio che congiunge C e P

 

v=P-C=[x_P-x_C,y_P-y_C,z_P-z_C].

 

Consideriamo quindi la generica equazione cartesiana di un piano

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

sostituiamo i parametri direttori di v precedentemente calcolati

 

(x_P-x_C)x+(y_P-y_C)y+(z_P-z_C)z+d=0

 

e imponiamo la condizione di passaggio per il punto di tangenza, sostituendo le coordinate di P=[x_P,y_P,z_P] nella precedente equazione. In questo modo possiamo determinare il valore del parametro incognito d

 

(x_P-x_C)x_P+(y_P-y_C)y_P+(z_P-z_C)z_P+d=0

 

da cui

 

d=-(x_P-x_C)x_P-(y_P-y_C)y_P-(z_P-z_C)z_P.

 

Fine! ;)

 

 

Esempio

 

Determinare l'equazione del piano tangente alla sfera

 

x^2-4x+y^2-6y+z^2+2z+10=0

 

nel punto di coordinate P=(2,1,-1).

 

Svolgimento: innanzitutto osserviamo che P\in\pi, infatti le coordinate di P verificano l'equazione di \pi. Procediamo per completamento dei quadrati in modo da scrivere l'equazione della sfera in forma canonica (come in (**)):

 

x^2-4x+4-4+y^2-6y+9-9+z^2+2z+1-1+10=0

 

da cui (x-2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=4. La sfera ha centro in C=(2,3,-1) e raggio r=2. Calcoliamo la direzione del raggio che congiunge C con il punto di tangenza

 

P-C=(2-2,1-3,-1+1)=(0,-2,0)

 

sicché \pi avrà come vettore dei coefficienti direttori (0,-2,0)

 

0x-2y+0z+d=0\Rightarrow -2y+d=0.

 

Imponiamo il passaggio per P, sostituendone le coordinate nell'ultima equazione

 

-2+d=0\ \Rightarrow\ d=2

 

e abbiamo trovato l'equazione del piano tangente alla sfera nel punto dato: \pi:\ -2y+2=0 cioè y=1.

 

 


 

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