Dall'equazione cartesiana del piano alle equazioni parametriche

In questo articolo vedremo come passare dall'equazione cartesiana del piano alle equazioni parametriche, avendo cura di occuparci anche dei casi particolari.

 

 

Partiamo dal caso generale, e immaginiamo di avere un piano \pi nello spazio euclideo \mathbb{E}^3 definito mediante un'equazione cartesiana

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

e di volerne ricavare le equazioni parametriche, cioè una rappresentazione del tipo

 

\pi:\ \begin{cases}x=x_P+tv_1+sw_1\\ y=y_P+tv_2+sw_2\\ z=z_P+tv_3+sw_3\end{cases}

 

dove t,s\in\mathbb{R} sono due parametri reali. Supponiamo che nell'equazione cartesiana di \pi compaiano tutte e tre le variabili x,y,z; nel seguito tratteremo i casi particolari a parte.

 

Tutto quello che dobbiamo fare è assegnare a due delle tre variabili x,y,z, ad esempio a x,z, il ruolo di parametri indipendenti o parametri liberi. La scelta è arbitraria. Poniamo quindi

 

x=t\ ; z=s

 

e consideriamo il sistema di equazioni

 

\begin{cases}x=t\\ ax+by+cz+d=0\\ z=s\end{cases}

 

Non dobbiamo fare altro che sostituire x=t\ ,\ z=s, cioè le formulazioni parametriche delle due variabili, nell'equazione cartesiana del piano

 

\begin{cases}x=t\\ at+by+cs+d=0\\ z=s\end{cases}

 

e riscriverla in modo da ricavare una rappresentazione parametrica per la variabile libera - per noi y - che dunque sarà espressa nella forma y=y(t,s).

 

\begin{cases}x=t\\ y=\frac{1}{b}\left[-at-cs-d\right]\\ z=s\end{cases}

 

Abbiamo finito, infatti abbiamo trovato le equazioni che descrivono parametricamente tutti e soli i punti [x(t,s),y(t,s),z(t,s)] del piano.

 

 

Casi particolari

 

 

A seconda che nell'equazione cartesiana di \pi non compaiano tutte e tre le variabili, il procedimento subisce una lieve modifica. Vediamo come procedere...

 

 

- Se compaiono due variabili libere anziché tre, diciamo ad esempio x,y, dovremo comportarci come in precedenza, Dovremo però attribuire alla variabile mancante necessariamente il ruolo di parametro - nel nostro caso z=t - e potremo scegliere come secondo parametro una delle due variabili che compaiono nell'equazione

 

ax+by+d=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=s\\ ax+by+d=0\\ z=t\end{cases}\ \Rigtharrow\ \begin{cases}x=s\\ y=\frac{1}{b}[-as-d]\\ z=t\end{cases}

 

 

- Se nell'equazione del piano compare una sola variabile libera, ad esempio y, dovremo assegnare necessariamente i ruoli di parametro alle due variabili che non compaiono.

 

by+d=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=t\\ y=-\frac{d}{b}\\ z=s\end{cases}

 

 

Esempio

 

Supponiamo di voler passare dall'equazione cartesiana del piano \pi, dato da

 

3x+5y-6z+2=0

 

alle equazioni parametriche del medesimo piano. Poniamo y=t\ ,\ z=s e sostituiamoli

 

3x+5t-6s+2=0\ \Rightarrow\ x=\frac{1}{3}[-5t+6s-2]

 

Abbiamo già finito! :)

 

\begin{cases}x=-\frac{5}{3}t+2s-\frac{2}{3}\\ y=t\\ z=s\end{cases}

 

 

Qualora te la fossi persa, vi raccomandiamo di leggere anche la lezione precedente in cui spieghiamo come passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana del piano.

 

 


 

Nel frattempo, se dovessi avere dubbi o problemi, non esitare e cerca le risposte alle tue domande con la barra di ricerca di YM (abbiamo risolto tantissimi esercizi, spiegandoli fino all'ultimo passaggio!)...e se non dovesse bastare, apri una discussione nel Forum! Wink

 

Farvel, see you soon guys!

Agente Ω

 

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