Equazioni parametriche del piano

Come nel caso delle rette, oltre ad una rappresentazione di tipo cartesiano possiamo descrivere tutti e soli i punti di un piano in forma parametrica: il sistema di equazioni che permette di rappresentare parametricamente tutti i punti di un piano definendone le coordinate va sotto il nome di sistema di equazioni parametriche del piano.

 

Come scrivere le equazioni parametriche di un piano

 

Un piano, in forma parametrica, si esprime mediante un sistema di tre equazioni, ciascuna delle quali descrive una delle tre coordinate [x,y,z] di un generico punto P del piano

 

\pi:\ \begin{cases}x=x_O+tv_1+sw_1\\ y=y_O+tv_2+sw_2\\ z=z_O+tv_3+sw_3\end{cases}

 

dove x=x(t,s)\ ,\ y=y(t,s)\ ,\ z=z(t,s) sono proprio le coordinate di un punto P=P(t,s) del piano, mentre t,s sono due parametri reali indipendenti. Al variare di t,s le precedenti equazioni individuano tutti i punti del piano \pi considerato.

 

 

Per il resto, P=[x_O,y_O,z_O] è uno specifico punto appartenente al piano mentre v=[v_1,v_2,v_3] e w=[w_1,w_2,w_3] sono due direzioni.

 

 

Affinché le equazioni parametriche siano consistenti, la condizione necessaria e sufficiente è che v,w siano vettori linearmente indipendenti (sulla nozione di indipendenza lineare: click!) esse in parole povere non devono definire la stessa direzione, cioè non devono essere vettori paralleli.

 

Ancora in altri termini: le equazioni parametriche del piano sono consistenti se non esiste alcun \lambda\in\mathbb{R} tale per cui w=\lambda v. In caso contrario ci troveremmo di fronte alle una retta in forma parametrica!

 

\begin{cases}x=x_O+tv_1+sw_1=x_O+tv_1+s\lambda v_1=x_O+(t+s\lambda)v_1=x_O+uv_1\\ y=y_O+tv_2+sw_2=y_O+tv_2+s\lambda v_2=y_O+(t+s\lambda)v_2=y_O+uv_2\\ z=x_O+tv_3+sw_3=z_O+tv_3+s\lambda v_3=z_O+(t+s\lambda)v_3=z_O+uv_3\end{cases}

 

ci basterebbe infatti definire un nuovo parametro u:=t+s\lambda.

 

 

A proposito: che cosa rappresentano le due direzioni linearmente indipendenti? Esse rappresentano due direzioni parallele al piano e non parallele tra loro. Scrivendo le equazioni parametriche del piano in forma vettoriale

 

P=P_O+tv+sw

 

il significato algebrico è subito evidente: nelle equazioni parametriche di un piano si individuano tutti e soli i punti del piano con un'opportuna combinazione lineare tv+sw applicata al punto P_O.

 

 

Esempio

 

Le equazioni parametriche

 

\begin{cases}x=1+3t-s\\ y=t-2s\\ z=3+s\end{cases}

 

descrivono il piano passante per il punto P_O=[1,0,3] e parallelo alle direzioni v=[3,1,0] e w=[-1,-2,+1].

 

Di contro, le equazioni parametriche

 

\begin{cases}x=1+2t+s\\ y=3-3t-\frac{3}{2}s\\ z=-5+8t+4s\end{cases}

 

non individuano un piano, bensì una retta, poiché i vettori v=[2,-3,8] e w=\left[1,-\frac{3}{2},4\right] individuano la stessa direzione. Essi sono infatti linearmente dipendenti, essendo v=2w.

 

 


 

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Agente Ω

 

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