Distanza di un punto da un piano

Nell'ambito della Geometria Euclidea dello spazio disponiamo di una comodissima formula che ci permette di calcolare la distanza di un punto da un piano, qualora ci servisse o nel caso in cui dovessimo risolvere un esercizio che lo richiede esplicitamente.

 

Formula per la distanza di un punto da un piano

 

Supponiamo di avere un piano \pi nello spazio euclideo \mathbb{E}^3 e un punto P=(x_P,y_P,z_P). Vogliamo calcolare la distanza del punto P dal piano \pi.

 

La formula che stiamo per introdurre richiede che il piano sia definito in forma cartesiana, cioè mediante un'equazione cartesiana del tipo

 

ax+by+cz+d=0.

 

La distanza di P da \pi si calcola mediante la formula

 

d(P,\pi)=\frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

 

mentre se il punto appartiene al piano, cioè se P\in \pi, allora la distanza è per definizione zero: d(P,\pi)=0.

 

Nel caso in cui il piano sia definito mediante equazioni parametriche non dovremo fare altro che ricavarne l'equazione cartesiana (si veda la lezione dedicata) e procedere applicando la suddetta formula.

 

Esempio di calcolo della distanza di un punto da un piano

 

Dato il piano \pi:\ x-3z+1=0, calcolare la distanza del punto P=(1,1,3) dal piano \pi.

 

Svolgimento: per prima cosa notiamo che il punto non appartiene al piano, infatti le sue coordinate non ne verificano l'equazione. Se avessimo avuto P\in\pi allora avremmo potuto concludere l'esercizio immediatamente, dicendo che d(P,\pi)=0.

 

Procediamo con la formula: dato che il termine in y non compare nell'equazione di \pi, ne deduciamo che il coefficiente corrispondente è nullo, cioè b=0. Abbiamo così

 

d(P,\pi)=\frac{|1\cdot 1+ 0 + (-3)\cdot 3+1|}{\sqrt{1+0+9}}=\frac{7}{\sqrt{10}}

 

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