Piano ortogonale a una retta passante per un punto

L'articolo che segue, più che una lezione, è una guida veloce per la risoluzione di una classe di esercizi di Geometria dello spazio, in cui in un modo o nell'altro ci viene richiesto di determinare il piano ortogonale a una retta e passante per un punto.

 

 

Ricordiamo che ci sono due possibili modi per individuare univocamente un piano nello spazio:

 

- avendo due direzioni, o vettori, linearmente indipendenti parallele al piano ed un punto di passaggio;

 

- avendo una direzione ortogonale a tutte le direzioni del piano ed un punto di passaggio.

 

Qui ed ora ci occupiamo del secondo caso, esponendo il procedimento generale per poi applicarlo in un semplice esempio.

 

 

Immaginiamo di avere una retta r data mediante equazioni cartesiane o equazioni parametriche, e di avere un punto P del piano da individuare. Vogliamo trovare il piano ortogonale alla retta e passante per il punto.

 

 

1) Calcoliamo il vettore dei parametri direttori della retta r. Poco importa che essa sia definita in forma cartesiana o parametrica, ci basterà seguire le indicazioni contenute nella lezione del link: come ricavare la direzione di una retta nello spazio.

 

Chiamiamo tale direzione v=[v_1,v_2,v_3].

 

 

2) Ricordando che l'equazione cartesiana di un piano è della forma

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

e che il vettore dei coefficienti direttori del piano (a,b,c) rappresenta la direzione perpendicolare a tutti i vettori paralleli al piano, sostituiamo a,b,c rispettivamente con v_1,v_2,v_3:

 

v_1x+v_2y+v_3z+d=0

 

 

3) Per trovare il piano richiesto ci basta determinare il valore del coefficiente d, e per farlo utilizziamo la condizione di passaggio per il punto P. Dato che un punto appartiene ad un piano se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione cartesiana del piano, ci basta imporre il passaggio per P=(x_P,y_P,z_P) e sostituirne le coordinate nell'equazione

 

v_1x_P+v_2y_P+v_3z_P+d=0

 

da cui ricaviamo

 

d=-(v_1x_P+v_2y_P+v_3z_P)

 

 

4) Abbiamo finito: l'equazione cartesiana del piano ortogonale alla retta r e passante per il punto P è data da

 

v_1x+v_2y+v_3z-(v_1x_P+v_2y_P+v_3z_P)=0

 

 

Esempio

 

Calcolare l'equazione cartesiana del piano \pi passante per il punto P=[5,-1,3] e perpendicolare alla retta r di equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=-t\\ y=2+3t\\ z=-4\end{cases}

 

Non dobbiamo fare altro che scrivere il vettore della direzione di r, vale a dire v_r=[-1,3,0], e sostituirlo al vettore dei parametri direttori di un generico piano \pi:

 

ax+by+cz+d=0\Rightarrow -x+3y+d=0

 

Ora imponiamo il passaggio per il punto P, sostituendone le coordinate nell'equazione

 

-5-3+d=0\Rightarrow d=8

 

Abbiamo finito! Wink \pi:\ -x+3y+8=0

 

 


 

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שלום, see you soon guys!

Agente Ω

 

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