Direzione di una retta nello spazio

Una retta nello spazio è individuata in modo unico da una direzione e un punto. Nelle righe che seguono mostreremo come determinare la direzione di una retta nello spazio a partire dalle equazioni cartesiane o parametriche.

 

Direzione di una retta dalle equazioni parametriche

 

È il caso più semplice. Se abbiamo una retta nello spazio definita da equazioni parametriche, possiamo ricavare la direzione in mezzo passaggio. Sappiamo che una retta in forma parametrica può essere descritta da un'equazione vettoriale del tipo

 

r:\ P(t)=P+tv

 

dove t è un parametro reale, P un punto di passaggio e v...la direzione della rettaWink

 

In forma scalare

 

r:\ \begin{cases}x=x_P+tv_1\\ y=y_P+tv_2\\ z=z_P+tv_3\end{cases}

 

e anche in questo contesto avremo automaticamente la direzione di r:

 

v=[v_1,v_2,v_3]

 

 

Esempio

 

La retta s data dalle equazioni

 

s:\ \begin{cases}x=1-3t\\ y=-\frac{1}{2}t\\ z=-4\end{cases}

 

ha direzione data da v=\left[-3,-\frac{1}{2},0\right].

 

 

Attenzione! (La direzione di una retta è definita da un'infinità di vettori)

 

Se v\in\mathbb{R}^3 è il vettore direzione di una retta nello spazio, diciamo

 

v=[v_1,v_2,v_3]

 

allora preso un qualsiasi \lambda\in\mathbb{R} il vettore

 

\lambda v=[\lambda v_1, \lambda v_2, \lambda v_3]

 

individua ancora la direzione della retta. È sufficiente osservare che i vettori v e \lambda v sono paralleli e dunque individuano la medesima direzione!

 

Direzione di una retta dalle equazioni cartesiane

 

Supponiamo di avere una retta r nello spazio definita mediante equazioni cartesiane, ossia da un sistema di due equazioni in tre incognite

 

r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

Le equazioni cartesiane - importante! - descrivono una retta come intersezione di due piani, e affinché ciò sia possibile devono essere piani non paralleli. I vettori (a,b,c) e (a',b',c') rappresentano rispettivamente le direzioni ortogonali ai rispettivi piani:

 

(a,b,c)\mbox{ direzione ortogonale al piano }\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

(a',b',c')\mbox{ direzione ortogonale al piano }\pi ': a'x+b'y+c'z+d'=0.

 

Dato che la retta r è l'intersezione tra i due piani, la sua direzione è ortogonale a entrambe le direzioni ortogonali ai rispettivi piani. Inoltre, nell'ipotesi di due piani non paralleli (la nostra) esiste un'unica direzione che sia ortogonale a (a,b,c) e (a',b',c'): per l'appunto, quella della retta.

 

Per determinare la direzione v_r della retta r ci basterà calcolare il prodotto vettoriale tra i vettori dei parametri direttori dei due piani

 

v_r=(a,b,c)\times (a',b',c')

 

Non sai come calcolare il prodotto vettoriale? Lo trattiamo in una lezione a parte. Laughing

 

 

Esempio

 

Calcolare la direzione della retta definita da

 

\begin{cases}x-z=0\\ 3x+y+2z=0\end{cases}

 

I vettori dei parametri direttori sono rispettivamente [1,0,-1] e [3,1,2]: la direzione richiesta si determina mediante il prodotto vettoriale

 

[1,0,-1]\times [3,1,2]=det\left[\begin{matrix}i & j & k\\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 2\end{matrix}\right]=[1,-5,1]

 

 


 

Abbiamo finito! Se dovessi avere dubbi non esitare e cerca le risposte che ti servono tra le migliaia di esercizi risolti e risposte che abbiamo dato...e se ancora non bastasse, apri pure una discussione nel Forum!

 

до побачення, see you soon guys!

Agente Ω

 

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