Equazione cartesiana del piano

In questa lezione vogliamo mostrare cos'è l'equazione cartesiana di un piano, e come si determina a seconda dei casi.

 

Un piano nello spazio \mathbb{R}^3 si descrive mediante una sola equazione, che individua tutti e soli i punti del piano come soluzioni (x,y,z) dell'equazione (da qui il nome equazione cartesiana) e che è della forma

 

ax+by+cz+d=0

 

con a,b,c,d\in\mathbb{R} coefficienti reali. Il luogo delle soluzioni (x,y,z) che verificano l'equazione è il luogo dei punti P=(x,y,z) che appartengono al piano.

 

 

Struttura dell'equazione cartesiana del piano: in ax+by+cz+d=0, a discapito delle apparenze, abbiamo solamente due ingredienti:

 

- la terna (a,b,c) dei coefficienti detti parametri direttori del piano o coefficienti direttori del piano, che individua la direzione ortogonale a tutti i vettori del piano;

 

- il coefficiente del termine noto d.

 

 

In sintesi per individuare univocamente un piano nello spazio è sufficiente disporre della direzione ortogonale al piano e del coefficiente d. Questa non è, in realtà, l'unica coppia di elementi che ci permette di individuare in modo univoco un piano nello spazio, e dunque la sua equazione cartesiana. C'è anche un'ulteriore possibilità, ma vediamo tutto con calma...Wink

 

Come determinare l'equazione cartesiana del piano

 

Ci sono essenzialmente due modi per ricavare l'equazione cartesiana di un piano nello spazio tridimensionale: i due metodi sono teoricamente analoghi, ma diversi all'atto pratico. Come succede sempre in questi casi il modo di procedere dipenderà dai dati di cui disponiamo.

 

Equazione cartesiana del piano con il vettore ortogonale e un punto di passaggio

 

Se disponiamo subito del vettore ortogonale al piano v=[v_1,v_2,v_3] e di un punto di passaggio P=[x_P,y_P,z_P], possiamo procedere come segue:

 

 

1) Consideriamo la generica equazione cartesiana di un piano

 

ax+by+cz+d=0

 

 

2) Conosciamo il vettore dei parametri direttori: [a,b,c]=v=[v_1,v_2,v_3]. Sostituiamone le componenti nella precedente equazione

 

v_1x+v_2y+v_3z+d=0

 

 

3) Sfruttiamo la condizione di passaggio per il punto P=[x_P,y_P,z_P] per determinare il coefficiente d. Il piano naturalmente passa per il punto se le coordinate del punto verificano l'equazione del piano. Imponiamo

 

v_1x_P+v_2y_P+v_3z_P+d=0

 

da cui

 

d=-(v_1x_P+v_2y_P+v_3z_P)

 

Non ci resta che sostituire tale valore nell'equazione

 

v_1x+v_2y+v_3z-(v_1x_P+v_2y_P+v_3z_P)=0

 

e abbiamo finito! ;)

 

 

Esempio

 

Scriviamo l'equazione cartesiana del piano passante per il punto P=[0,0,1] e avente direzione ortogonale data da v=[1,-1,3].

 

Non dobbiamo fare altro che scrivere la generica equazione cartesiana del piano

 

ax+by+cz+d=0

 

sfruttare il vettore ortogonale come vettore dei parametri direttori

 

x-y+3z+d=0

 

imporre il passaggio per il punto

 

3+d=0\ \Rightarrow\ d=-3

 

e abbiamo già finito: x-y+3z-3=0.

 

Equazione cartesiana del piano con due vettori del piano e un punto di passaggio

 

Se invece abbiamo due vettori paralleli al piano, purché linearmente indipendenti (non paralleli tra loro) u=[u_1,u_2,u_3] e w=[w_1,w_2,w_3] e le coordinate di un punto P=[x_P,y_P,z_P] appartenente al piano, come facciamo a scriverne l'equazione cartesiana?

 

Dato che i due vettori v,w sono paralleli al piano e sono linearmente indipendenti, possiamo usarli per ricavare la direzione ortogonale al piano n=[n_1,n_2,n_3] e dunque scrivere l'equazione cartesiana del piano come mostrato in precedenza.

 

Per determinare la direzione ortogonale ci basta calcolare il prodotto vettoriale tra v e w: il prodotto vettoriale tra due vettori non paralleli è infatti perpendicolare ad entrambi per definizione!

 

n=u\times w=det\left[\begin{matrix}i & j & k\\ u_1 & u_2 & u_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{matrix}\right]

 

e a questo punto basta applicare il procedimento visto poche righe sopra. Nel caso in cui non sapeste come calcolare il prodotto vettoriale tra due vettori, vi consigliamo di dare un'occhiata all'apposita lezione. :)

 

 

Esempio

 

Troviamo l'equazione cartesiana del piano passante per P=[-2,3,1] e parallelo ai vettori u=[3,3,-2] e w=[0,1,1].

 

Osserviamo innanzitutto che u,w sono linearmente indipendenti, infatti non è possibile ricavare l'uno dall'altro per moltiplicazione per uno scalare: non esiste alcun k\in\mathbb{R} per cui risulti u=kw.

 

Ci basta ricavare la direzione perpendicolare al piano moltiplicando vettorialmente i due vettori tra loro:

 

n=u\times w=det\left[\begin{matrix}i & j & k\\ 3 & 3 & -2\\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]=[5,-3,3]

 

da qui all'equazione cartesiana è un gioco da ragazzi: Wink si procede come prima, provate ad arrivarci per esercizio...(risultato: 5x-3y+3z+16=0 ).

 

 


 

È tutto! Se volete risolvere un po' di esercizi, qui su YM ne trovate a iosa: vi basterà trovarli usando la nostra barra di ricerca.

 

Tạm biệt, see you soon guys!

Agente Ω

 

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