Equazioni parametriche della retta

Una retta in \mathbb{R}^n ad esempio nel piano \mathbb{R}^2 o nello spazio \mathbb{R}^3, ammette sempre una rappresentazione parametrica. Possiamo cioè descrivere in un colpo solo tutti i punti appartenenti alla retta con una equazione parametrica vettoriale, o equivalentemente mediante un sistema di equazioni parametriche scalari.

 

Ciascuna di tali equazioni individuerà una coordinata del generico punto della retta, dunque per descrivere una retta in \mathbb{R}^n con delle equazioni parametriche avremo bisogno di n equazioni parametriche (n equazioni per n coordinate).

 

Come scrivere le equazioni parametriche di una retta

 

Equazione parametrica vettoriale: una retta r\in\mathbb{R}^n si può descrivere nella forma

 

P(t)=A+t(B-A)

 

dove A,B\in\mathbb{R}^n sono due punti qualsiasi della retta, purché disinti: A\neq B. La lettera t indica un parametro reale libero, t\in\mathbb{R}.

 

 

Nota che la precedente equazione è vettoriale perché i punti A,B si rappresentano mediante i vettori delle proprie coordinate: tali coordinate sono generalmente riferite alla base canonica di \mathbb{R}^3, cioè la base dei vettori che descrivono la direzione degli assi coordinati.

 

Nota anche che per due punti distinti passa una ed una sola retta, dunque il fatto che compaiano solamente due punti nell'equazione vettoriale della retta ha senso. :)

 

 

Al variare di t\in\mathbb{R} (è un parametro!) la precedente formula ci permette di descrivere tutti i punti che giacciono sulla retta: analizzando i due addendi vediamo infatti che si somma al punto A un multiplo di B-A, che rappresenta la direzione della retta v_r

 

v_r=B-A

 

Il multiplo t(B-A) corrisponde ad una dilatazione o ad una compressione del vettore direzione B-A, e in questo modo possiamo individuare tutti i punti della retta r.

 

 

Equazioni parametriche scalari: una rappresentazione del tutto equivalente alla precedente si ottiene scrivendo le equazioni scalari che costituiscono l'equazione vettoriale. Nel caso di una retta nello spazio n-dimensionale possiamo esprimere P(t)=A+t(B-A) come

 

 

\left[\begin{matrix}x_1(t)\\ \vdots \\ x_n(t)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x_{A,1}\\ \vdots \\ x_{A,n}\end{matrix}\right]+t\left[\begin{matrix}x_{B,1}-x_{A,1}\\ \vdots \\ x_{B,n}-x_{A,n}\end{matrix}\right]

 

 

e dunque come

 

 

\begin{cases}x_1(t)=x_{A,1}+t(x_{B,1}-x_{A,1})\\ \vdots \\ x_{n}(t)=x_{A,n}+t(x_{B,n}-x_{A,n})\end{cases}

 

 

Ognuna delle precedenti equazioni descrive la corrispondente coordinata del punto P(t)=[x_1(t),...,x_n(t)]. Ad esempio l'equazione n-esima descrive la coordinata n-esima x_n(t) del punto P(t) sulla retta r.

 

 

Se volessimo scrivere le equazioni parametriche di una retta in \mathbb{R}^2 passante per due punti A=[x_A,y_A] e B=[x_B,y_B] avremmo (occhio alle notazioni che cambiano leggermente)

 

 

\begin{cases}x(t)=x_A+t(x_B-x_A)\\ y(t)=y_A+t(y_B-y_A)\end{cases}

 

 

Nel caso di \mathbb{R}^3 una retta per i punti A=[x_A,y_A,z_A] e B=[x_B,y_B,z_B] si individua con le equazioni parametriche

 

 

\begin{cases}x(t)=x_A+t(x_B-x_A)\\ y(t)=y_A+t(y_B-y_A)\\ z(t)=z_A+t(z_B-z_A)\end{cases}

 

 

Esempi

 

 

1) Le equazioni parametriche della retta r\subset \mathbb{R}^2 per i punti A=(1,0) e B=[-3,3] sono

 

r:\ \begin{cases}x(t)=1+t(-3-1)\\ y(t)=0+t(3-0)\end{cases}

 

ossia

 

r:\ \begin{cases}x(t)=1-4t\\ y(t)=3t\end{cases}

 

 

2) Se invece vogliamo rappresentare la retta s\subset \mathbb{R}^3 per i punti A=[2,-1,2] e B=[4,-22,6] in forma parametrica vettoriale

 

s:\ P(t)=[2,-1,2]+t[4-2,-22-(-1),6-2]

 

ossia

 

s:\ P(t)=[2+2t,-1-21t,2+4t]

 

In forma di equazioni scalari

 

s:\ \begin{cases}x(t)=2+2t\\ y(t)=-1-21t\\ z(t)=2+4t\end{cases}

 

 


 

 

A questo punto probabilmente ti aspetterai che si parli di come si determinano le equazioni parametriche di una retta, e...non rimanerci male! Laughing Non c'è molto altro da dire, perché il metodo coincide praticamente con la definizione. Per determinare le equazioni parametriche di una retta è sufficiente conoscere, o ricavare, le coordinate di due punti che le appartengono. Per il resto basta applicare le formule precedenti, e nient'altro.

 

In una lezione a parte avremo modo di vedere il metodo per passare dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane, e viceversa. Wink Nel frattempo se hai dubbi o domande puoi cercare le risposte che ti servono con la barra di ricerca di YM: abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. Eventualmente sappiate che potete sempre aprire una discussione nel Forum!

 

Hwyl fawr, see you soon guys!

Agente Ω

 

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