Equazioni cartesiane della retta nello spazio

Data una qualsiasi retta r nello spazio euclideo \mathbb{R}^3, è possibile descrivere la retta mediante un sistema di equazioni cartesiane, ed in particolare mediante un sistema di due equazioni. In generale, le equazioni cartesiane di una retta nello spazio sono della forma

 

(*)\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

dove a,b,c,d,a',b',c',d' sono coefficienti reali. Cerchiamo di capire il motivo di una tale rappresentazione: ciascuna delle equazioni

 

ax+by+cz+d=0\ \ \ ;\ \ \ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

è l'equazione cartesiana di un piano nello spazio. Mettendole a sistema si cercano le terne (x,y,z) di punti che le soddisfano entrambe, cioè i punti della retta r. In parole povere, le equazioni cartesiane di una retta nello spazio individuano la retta come intersezione di due piani.

 

 

Domanda: questo succede sempre? Comunque si prendono due piani, e dunque due equazioni cartesiane come le precedenti, il loro sistema rappresenta sempre e comunque una retta?


No. Per far sì che il luogo delle soluzioni di (*) sia una retta dobbiamo richiedere che le due equazioni siano linearmente indipendenti. Se così non fosse, e dunque se avessimo due equazioni linearmente dipendenti


\exists k\in\mathbb{R} \mbox{ tale che }a=k a'\ ;\ b=kb'\ ; \ c=kc'\ ; \ d=kd'

 

 

ci troveremmo di fronte a due piani paralleli (k‡1) oppure coincidenti (k=1): nel primo caso l'intersezione dei due piani sarebbe vuota, nel secondo (*) rappresenterebbe un piano.

 

In definitiva la rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio è

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

con (ax+by+cz+d)\neq k(a'x+b'y+c'z+d') per ogni k\in\mathbb{R}, ipotesi d'indipendenza lineare delle due equazioni.

 

 

Esempi

 

 

1) Il sistema

 

\begin{cases}2x+4y-5=0\\ 3y-2z+6=0\end{cases}

 

individua una retta nello spazio.

 

 

2) Il sistema

 

\begin{cases}x+y+z+1=0\\ -3x-3y-3z-3=0\end{cases}

 

non rappresenta una retta, infatti la seconda equazione dipende linearmente dalla prima (è sufficiente moltiplicare la prima equazione per (-3) per ricavarla).

 

Come determinare le equazioni cartesiane di una retta

 

Per individuare una retta r nello spazio sono sufficienti due punti A,B distinti o (il che è equivalente) un punto A e la direzione della retta v (avremo modo di riprendere quest'ultimo concetto nella lezione sulle equazioni parametriche della retta).

 

Perché "equivalentemente"? Perché con due punti A,B distinti possiamo ricavare velocemente la direzione v come

 

v=B-A

 

e considerare come punto di passaggio A.

 

Supponiamo dunque di voler scrivere le equazioni cartesiane di una retta conoscendo un punto P=(x_P,y_P,z_P) e la direzione v=(a,b,c). Sono date tre possibilità

 

A) Se a,b,c\neq 0 le equazioni cartesiane di r sono date da

 

\frac{x-x_P}{a}=\frac{y-y_P}{b}=\frac{z-z_P}{c}

 

Occhio! Sembra un'unica equazione, ma in realtà sono due! Wink

 

\begin{cases}\frac{x-x_P}{a}=\frac{y-y_P}{b}\\ \frac{y-y_P}{b}=\frac{z-z_P}{c}\end{cases}

 

 

B) Una tra le tre componenti di v=(a,b,c) è nulla, diciamo ad esempio a=0 e b,c\neq 0. In tal caso le equazioni cartesiane sono della forma

 

\begin{cases}\frac{y-y_P}{b}=\frac{z-z_P}{c}\\ x=x_P\end{cases}

 

nel caso b=0,\ a,c\neq 0 oppure c=0,\ a,b\neq 0 le equazioni cartesiane si modificano di conseguenza.

 

 

C) Due componenti su tre sono nulle nel vettore v=(a,b,c) , ad esempio a=0=b, mentre c\neq 0. Allora le equazioni cartesiane sono

 

\begin{cases}x=x_P\\ y=y_P\end{cases}

 

nel caso b=0=c,\ a\neq 0 oppure a=0=c,\ b\neq 0, le equazioni cartesiane si modificano di conseguenza.

 

 


 

 

Se invece sei finito qui perché cercavi il metodo per passare dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane...niente paura! Ne parliamo in una delle prossime lezioni. Wink

 

Esempi

 

1) La retta passante per il punto P=(2,-2,1) avente direzione v=(2,4,2) ha equazioni cartesiane date da

 

\begin{cases}\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{4}\\ \frac{y+2}{4}=\frac{z-1}{2}\end{cases}

 

2) Se invece prendiamo P=(3,1,1) e v=(1,1,0), abbiamo

 

\begin{cases}\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{1}\\ z=1\end{cases}

 

3) Per concludere, supponiamo di voler scrivere le equazioni cartesiane della retta passante per il punto P=(2,2,4) e di direzione v=(0,1,0)

 

\begin{cases}x=2\\ z=4\end{cases}

 

 


 

E questo è tutto amiche e amici! Wink Continuate a leggere le nostre lezioni, cercate le risposte ai vostri dubbi mediante la barra di ricerca - abbiamo risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi...e se ancora non bastasse, sappiate che potete aprire una discussione nel Forum!

 

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Agente Ω

 

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