Spazio euclideo

Partiamo da un concetto fondamentale, che a primo acchitto può risultare astruso e forse troppo astratto, ma capiremo presto che non è così. Per definire correttamente la nozione di spazio euclideo è necessario introdurre due nozioni: insieme numerico reale di dimensione n e distanza

 

Definizioni preliminari per la nozione di spazio euclideo

 

Partiamo subito dalla definizione formalmente corretta di ciò che si è soliti chiamare insieme numerico reale a n dimensioni.

 

 

Definzione (insieme numerico reale a n dimensioni)

 

Dato un numero naturale positivo n, si chiama insieme (o spazio ) numerico reale a n dimensioni l'insieme Rn così definito:

 

\mathbb{R}^n:=\{(x_1, x_2,\dots, x_n): x_1, x_2,\dots, x_n \in \mathbb{R}\}

 

L'insieme Rn è quindi formato da elementi che vengono chiamati punti o ennuple, cioè un elenco ordinato di n numeri reali x1,x2,...,xn, dette coordinate. Tali ennuple vengono indicate solitamente con lettere maiuscole. Il punto scelto

 

O=(0, 0, \dots, 0) 

 

è chiamato origine dello spazio numerico. 

 

Attenzione: la definizione data non è quella di spazio euclideo, il quale richiede qualche nozione in più che daremo tra un attimo.

 

Se questa è la prima volta che affronti questo argomento, ti chiederai: "Che cosa ho letto?!" - e per il momento ti consigliamo di rimanere concentrato. Se proprio devi, preoccupati dopo...Laughing

 

Cerchiamo di fare degli esempi concreti:

 

Esempi

 

1. L'esempio più semplice e immediato di spazio numerico reale è quello di dimensione 1, R, l'insieme dei numeri reali, in questo caso i punti hanno una sola coordinata, per tale motivo si alleggeriscono le notazioni evitando di scrivere le parentesi tonde. Lo zero è ovviamente l'origine dello spazio! 

 

2. Portiamo un esempio più sostanzioso, R2, spazio numerico reale di dimensione 2 così definito:

 

\mathbb{R}^2:=\{(x_1, x_2):x_1, x_2\in\mathbb{R}\} 

 

Esso è chiaramente un insieme di punti, individuati da due coordinate, x1, x2.  L'origine di R2 è il punto O=(0,0).

 

3. R3, spazio numerico reale di dimensione 3:

 

\mathbb{R}^3:=\{(x_1, x_2, x_3):x_1, x_2, x_3\in\mathbb{R}\} 

 

È un insieme di punti, individuati da tre coordinate, x1, x2, x3.  L'origine di R3 è il punto O=(0,0, 0).  Questo spazio ricopre un ruolo fondamentale non solo in Geometria ma anche in altri ambiti quali la Fisica.

 

Aumentando via via la dimensione otterremo gli spazi R4, R5, R6, ... dove l'esponente mette subito in evidenza la dimensione dello spazio numerico considerato.

 

Ora interviene il concetto di distanza tra due punti di uno spazio reale di dimensione n.

 

 

Definzione (distanza euclidea)

 

Siano P e Q due punti dello spazio numerico reale Rn che hanno le seguenti coordinate:

 

P=(p_1, p_2, \dots, p_n)\qquad Q=(q_1, q_2,\dots , q_n)

 

si definisce distanza euclidea tra P e Q il numero reale non negativo:

 

d(P, Q)=\overline{PQ}=\sqrt{(q_1-p_1)^2+ (q_2- p_2)^2+\dots + (q_n- p_n)^2}

 

o equivalentemente, utilizzando il simbolo di sommatoria:

 

d(P, Q)=\overline{PQ}=\sqrt{ \sum_{k=1}^n (q_k- p_k)^2}

 

In particolare possiamo vedere la distanza come una applicazione:

 

\begin{matrix}d: & \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & [0,+\infty)\subset\mathbb{R} \\ & (P, Q) & \longmapsto &d(P,Q)\end{matrix}

 

che gode delle seguenti proprietà:

 

1) La distanza euclidea tra due punti è nulla se e solo se i due punti coincidono

 

d(P, Q)=0\iff P=Q

 

2) La distanza euclidea tra P e Q coincide con la distanza euclidea tra Q e P d(P, Q)=d(Q, P)

 

3) Disuguaglianza triangolare: dati due punti P,Q, comunque scelto un terzo punto R risulta che

 

d(P, Q)\le d(P,R)+d(R, Q).

 

La proprietà 1 ci dice che la distanza tra due punti è zero se e solo se i due punti coincidono, hanno cioè ordinatamente le stesse coordinate, pi=qi i=1,...,n.

 

La proprietà 2 afferma invece che la distanza tra due punti è simmetrica.

 

La proprietà 3 viene detta disuguaglianza triangolare.

 

 

Una volta introdotta la nozione di distanza euclidea, possiamo finalmente definire formalmente lo spazio euclideo di dimensione n.


Definizione di spazio euclideo

 

Si definisce spazio euclideo di dimensione n la coppia (Rn, d) dove Rè l'insieme numerico reale di dimensione n e d è la distanza euclidea.

 

Tutto qui! :) Nota: alcuni autori definiscono lo spazio euclideo come lo spazio vettoriale Rn su cui è definita la distanza euclidea. E' una questione di ordine. E' possibile introdurre Rn  evidenziandone la struttura di spazio vettoriale, e in seguito definire su di esso la distanza euclidea, facendolo quindi diventare uno spazio euclideo. Insomma è una questione di gusti.

 

 


 

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