Equazione della sfera

In questa lezione, dedicata a studenti universitari, ci occuperemo della definizione e dell'equazione della sfera nello spazio euclideo tridimensionale. In particolare, partendo proprio dalla definizione, impareremo a scrivere l'equazione della sfera e, viceversa, nota l'equazione vedremo come ricavare le coordinate del centro e la misura del raggio.

 

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Definizione di sfera

 

Fissati un punto C dello spazio ed un segmento di lunghezza r, si definisce sfera l'insieme dei punti dello spazio che hanno distanza pari ad r dal punto C.

 

Il punto C si dice centro della sfera ed il segmento r è il raggio della sfera. Per fissare meglio le idee eccovi una rappresentazione della sfera nello spazio euclideo.

 

 

Sfera nello spazio

 

Equazione della sfera

 

Dette C(x_C,y_C,z_C) le coordinate cartesiane del centro della sfera ed indicato con r il raggio, l'equazione della sfera avente centro C e raggio r è

 

\mathrm{S}:(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

 

Più in generale l'equazione canonica della sfera si scrive come

 

\mathrm{S}: x^2+y^2+z^2+\alpha x +\beta y+ \gamma z + \delta = 0\ \ \ (\bullet)

 

Partendo da tale equazione possiamo ricavare il centro e la misura del raggio. Le coordinate cartesiane del centro sono date da:

 

C\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, \ -\frac{\gamma}{2}\right)

 

mentre la misura del raggio si ottiene come

 

r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}+\frac{\gamma^2}{4}-\delta}

 

Come determinare l'equazione di una sfera

 

Visto che fidarsi è bene, ma non fidarsi è meglio Wink vediamo nel dettaglio come ricavare l'equazione della sfera nel caso particolare ed in quello generale.

 

Dalla definizione di sfera segue che un punto P(x,y,z) dello spazio vi appartiene se e solo se la sua distanza (euclidea) da C coincide con la misura del raggio, ossia

 

P(x,y,z) \in \mathrm{S} \iff \mbox{dist}(P,C)=r

 

Applicando la formula della distanza euclidea tra due punti abbiamo

 

P(x,y,z) \in \mathrm{S} \iff \sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2}=r

 

Elevando ambo i membri della precedente equazione al quadrato:

 

P(x,y,z) \mbox{ appartiene alla sfera} \iff (x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

 

Abbiamo così ottenuto l'equazione della sfera noti centro e raggio.

 

Per ricavare l'equazione canonica della sfera sviluppiamo, nella precedente equazione, i tre quadrati di binomio

 

x^2-2xx_C+x_C^2+y^2-2yy_C+y_C^2+z^2-2zz_C+z_C^2-r^2=0

 

e riscriviamo l'equazione nel modo seguente

 

x^2+y^2+z^2+(-2x_C)x+(-2y_C)y+(-2z_C)z+(x_C^2+y_C^2+z_C^2-r^2)=0

 

Poniamo poi

 

\alpha:=-2x_C, \ \beta:=-2y_C, \ \gamma:=-2z_C, \ \delta:=x_C^2+y_C^2+z_C^2-r^2

 

Sostituendo nell'espressione precedente avremo proprio

 

x^2+y^2+z^2+\alpha x +\beta y+ \gamma z + \delta = 0

 

Dal metodo con cui abbiamo determinato tale equazione segue che le coordinate del centro sono date da

 

C\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, \ -\frac{\gamma}{2}\right)

 

mentre la misura del raggio si ottiene come

 

r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}+\frac{\gamma^2}{4}-\delta}

 

Sfera degenere e sfera immaginaria

 

Come di sicuro avrete notato, la formula che ci permette di ricavare il raggio partendo dall'equazione canonica della sfera dipende da una radice quadrata

 

r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}+\frac{\gamma^2}{4}-\delta}

 

Possiamo distinguere tre casi, a seconda del segno del radicando che può essere nullo, strettamente positivo o strettamente negativo.

 

 

- Se il radicando è strettamente positivo allora l'equazione (\bullet) definisce una sfera dello spazio euclideo.

 

 

- Se il radicando è nullo saremo di fronte ad una sfera degenere, ossia la sfera si riduce ad un solo punto che coincide con il centro.

 

 

- Infine se il radicando è strettamente minore di zero, allora l'equazione (\bullet) definisce quella che si dice sfera immaginaria. Un luogo geometrico vuoto la cui equazione ha le fattezze dell'equazione di una sfera.

 

Caratteristiche dell'equazione della sfera

 

Fissiamo infine la nostra attenzione sull'equazione canonica della sfera

 

x^2+y^2+z^2+\alpha x +\beta y+ \gamma z + \delta = 0

 

che è un'equazione di secondo grado in 3 incognite x,\ y,\ z.

 

Tale equazione ha tre caratteristiche principali:

 

- manca dei monomi misti xy, \ xz, \ yz.

 

- I coefficienti dei termini quadratici, ossia i coefficienti di x^2, \ y^2,\ z^2 sono non nulli ed uguali tra loro. In particolare se non dovessero essere uguali ad 1, per ricavare correttamente centro e raggio dovremmo dividere tutti i termini dell'equazione per il coefficiente comune ai termini quadratici prima di applicare le formule già viste, in modo da ricondurci alla forma canonica.

 

- Dipende dai 4 parametri reali \alpha, \ \beta, \ \gamma,\ \delta. Ne segue che per determinare univocamente l'equazione di una sfera abbiamo bisogno di 4 condizioni indipendenti.

 

Esempi sull'equazione della sfera

 

1) Dire se

 

2x^2+2y^2+2z^2+6x-4y+2=0

 

rappresenta l'equazione di una sfera e, in caso affermativo, determinare le coordinate del centro e la misura del raggio.

 

Svolgimento: dal momento che i tre termini quadratici hanno lo stesso coefficiente e l'equazione è priva dei monomi misti, ci troviamo di fronte all'equazione di una sfera.

 

Prima di applicare le due formule per trovare centro e raggio dobbiamo scrivere l'equazione in forma canonica, ossia dividere tutto per 2 (coefficiente dei termini quadratici).

 

x^2+y^2+z^2+3x-2y+1=0

 

Le coordinate del centro sono date da

 

C\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, \ -\frac{\gamma}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2},-\frac{-2}{2},\frac{0}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2},1,0\right)

 

e la misura del raggio è

 

r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}+\frac{\gamma^2}{4}-\delta}=\sqrt{\frac{9}{4}+1+0-1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}

 

 

2) Scrivere in forma canonica l'equazione della sfera avente come centro il punto C(2,3,-1) e raggio r=2.

 

Svolgimento: essendo noti centro e raggio, sappiamo che l'equazione della sfera è data da

 

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

 

Dobbiamo allora sostituire le coordinate del centro e la misura del raggio

 

(x-2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=2^2

 

Per ottenere la forma canonica basta svolgere i conti ed ordinare in modo opportuno. Risulta

 

x^2+y^2+z^2-4x-6y+2z+10=0

 

che è l'equazione cercata.

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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