Fascio di piani

In questa lezione parleremo dei fasci di piani. In particolare vedremo com'è definito e come si costruisce un fascio di piani proprio per poi passare al caso del fascio di piani paralleli (improprio). Come di consueto correderemo il tutto con immagini ed esempi che ci aiuteranno a fissare meglio le idee. Iniziamo subito partendo dalla definizione.

 

 

Definizione di fascio di piani: un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani. Se tali piani hanno una retta in comune si parlerà di fascio di piani proprio; se invece gli infiniti piani sono paralleli tra loro, saremo di fronte ad un fascio di piani improprio.

 

 

Fascio di piani

 

Fascio di piani proprio

 

Come abbiamo anticipato, assegnata una retta r nello spazio, un fascio proprio di piani è formato dagli infiniti piani che passano per la retta r, la quale si dirà sostegno del fascio. Dal momento che l'equazione cartesiana di una retta nello spazio è individuata dalle equazioni di due piani non paralleli, ad esempio

 

r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}

 

possiamo anche dire che un fascio di piani proprio è individuato da due piani non paralleli

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0 \mbox{ e } \beta:\ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

i quali si diranno generatori del fascio.

 

Equazione di un fascio di piani proprio

 

Data l'equazione cartesiana di una retta r nello spazio o, equivalentemente, assegnate le equazioni cartesiane di due piani non paralleli

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0 \mbox{ e } \beta:\ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

l'equazione del fascio generato dai piani \alpha \mbox{ e } \beta, ossia avente come sostegno la retta

 

r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}

 

è data dalla combinazione lineare dei due piani

 

\mathrm{F}:\ \lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d')= 0

 

con \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \ (\lambda, \mu) \neq (0, 0)

 

Sviluppando i prodotti e raccogliendo in modo opportuno possiamo scrivere l'equazione del fascio di piani come

 

\mathrm{F}:\ (\lambda a + \mu a')x+(\lambda b + \mu b')y+(\lambda c + \mu c')z+\lambda d+ \mu d'=0

 

la quale assomiglia all'equazione cartesiana di un piano i cui coefficienti direttori (\lambda a + \mu a', \ \lambda b + \mu b', \ \lambda c + \mu c') dipendono dai due parametri reali \lambda \mbox{ e } \mu. Al variare di tali parametri in \mathbb{R} otteniamo tutti e soli i piani appartenenti al fascio.

 

Inoltre tali parametri sono omogenei. In soldoni, se \rho è un qualsiasi numero reale non nullo allora (\rho \lambda, \rho \mu) \mbox{ e } (\lambda, \mu) individuano lo stesso piano.

 

Dal momento che è scomodo lavorare con due parametri, supponendo ad esempio che \lambda sia diverso da zero, possiamo porre k= \frac{\mu}{\lambda} e scrivere l'equazione del fascio di piani

 

\mathrm{F}:\ \lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d')=0

 

come

 

\mathrm{F}:\ ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0

 

da cui, sviluppando il prodotto e raccogliendo in modo opportuno

 

\mathrm{F}:\ (a+ka')x+(b+kb')y+(c+kc')z+d+kd'=0

 

In questo modo però non esiste alcun valore reale del parametro k che individui il piano \beta:\ a'x+b'y+c'z+d'=0 il quale, proprio come nel caso dei fasci di rette, si dirà piano escluso del fascio. Occorre quindi prestare particolare attenzione quando si svolgono gli esercizi!

 

Fascio di piani improprio

 

Un fascio di piani improprio è formato da infiniti piani paralleli tra loro, ossia in un fascio improprio di piani tutti i piani del fascio hanno gli stessi parametri direttori (a,b,c) e ciò che varia è solo il termine noto, il quale sarà un parametro reale.

 

Equazione di un fascio di piani paralleli

 

Per come lo abbiamo definito segue che per scrivere l'equazione di un fascio di piani paralleli ci servono l'equazione cartesiana di un piano \pi:\ ax+by+cz+d=0 oppure le componenti di un vettore dello spazio \mathbf{n}=(a,b,c) che individui la direzione normale ai piani del fascio.

 

In entrambi i casi l'equazione del fascio di piani paralleli è data da

 

\mathrm{F}:\ ax+by+cz+k=0, \ k \in \mathbb{R}

 

Al variare del parametro reale k nell'insieme dei numeri reali otterremo tutti e soli gli infiniti piani appartenenti al fascio.

 

Come determinare l'equazione di un fascio di piani

 

Se avete letto con attenzione quanto scritto finora, non c'è altro da aggiungere; per sicurezza facciamo un piccolo riepilogo e vediamo insieme qualche esempio.

 

Per scrivere l'equazione di un fascio di piani proprio abbiamo bisogno dell'equazione cartesiana di una retta dello spazio o, equivalentemente, di due piani non paralleli: l'equazione del fascio si ottiene uguagliando a zero la combinazione lineare delle equazioni dei due piani.

 

Per scrivere l'equazione di un fascio di piani paralleli ci occorre l'equazione cartesiana di un piano o la direzione della normale al piano. L'equazione di tale fascio si ottiene facendo variare il termine noto nell'insieme dei numeri reali. Tutto qui!

 

 

Esempio 1

 

Scrivere l'equazione del fascio di piani avente come sostegno la retta r passante per i punti A(2,3,1) \mbox{ e } B(1,1,1).

 

Svolgimento: per determinare l'equazione di una retta nello spazio abbiamo bisogno di un punto e di una direzione. La direzione di una retta dello spazio passante per due punti è data dalla differenza tra le coordinate cartesiane dei due punti, ossia

 

\mathbf{v}_r=A-B=(2,3,1)-(1,1,1)=(1,2,0)=(v_1,v_2,v_3)

 

A questo punto possiamo determinare l'equazione cartesiana della retta r che è data da

 

r:\ \begin{cases}\frac{x-x_B}{v_1}=\frac{y-y_B}{v_2} \\ z=z_B \end{cases}

 

ossia

 

r:\ \begin{cases}\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2} \\ z=1 \end{cases}

 

che possiamo riscrivere come

 

r:\ \begin{cases}2x-y-1=0 \\ z-1=0 \end{cases}

 

Allora l'equazione del fascio di piani avente come sostegno la retta r è

 

\mathrm{F}:\ \lambda(2x-y-1)+\mu(z-1)=0

 

o, equivalentemente

 

\mathrm{F}:\ 2\lambda x- \lambda y + \mu z -\lambda-\mu =0

 

 

Esempio 2

 

Scrivere l'equazione del fascio generato dai piani

 

\alpha: x-y+2z=0 \mbox{ e } \beta:\ 2x-2y+4z+5=0

 

Svolgimento: non fatevi trarre in inganno! Prima di procedere dobbiamo stabilire la posizione reciproca tra i due piani, ossia vedere se sono paralleli o meno. Dal momento che i due piani sono paralleli (a voi l'immediata verifica) l'equazione del fascio di piani sarà l'equazione di un fascio improprio:

 

\mathrm{F}:\ x-y+2z+k=0

 

 


 

Come al solito vi consigliamo di fare quanti più esercizi possibile. Ne potete trovare a decine, accuratamente svolti, utilizzando la barra di ricerca interna (in alto a destra in ogni pagina).

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: come scrivere l'equazione di un fascio di piani proprio ed improprio.