Posizioni tra due piani

In buona parte dei testi d'esame di Geometria dello Spazio capita di trovare un esercizio in cui si chiede di stabilire la posizione reciproca tra due piani, argomento di cui ci occuperemo in questa lezione. Nella prima parte, ci faremo un'idea di come due piani possono disporsi nello spazio da un punto di vista puramente geometrico. Nella seconda vedremo come, partendo dalle equazioni dei piani, se ne stabilisce la mutua posizione.

 

Posizioni tra due piani nello spazio da un punto di vista geometrico

 

Il piano è uno degli enti primitivi della Geometria Euclidea. Come abbiamo visto nella lezione sugli enti geometrici fondamentali possiamo pensare al piano come ad un foglio di carta che si espande all'infinito.

 

Per capire come due piani possono disporsi reciprocamente tra loro prendiamo due fogli di carta; posandoli uno sull'altro avremo un'idea di due piani coincidenti. Se invece poggiamo uno a terra e l'altro sulla nostra scrivania avremo quelli che vengono detti due piani paralleli. Ancora, se facciamo un taglio netto e dritto su uno dei due fogli ed incastriamo l'altro in corrispondenza del taglio, saremo di fronte a due piani incidenti che si incontrano proprio lungo il taglio.

 

Cerchiamo ora di esprimere in termini più rigorosi quanto appena scritto. Due piani nello spazio si dicono:

 

- paralleli se non hanno alcun punto in comune, ossia se la loro intersezione è vuota.

 

- coincidenti se ogni punto dell'uno è anche punto dell'altro;

 

- incidenti se si incontrano lungo una retta.

 

Per non lasciare spazio a dubbi eccovi una rappresentazione grafica delle possibili posizioni tra due piani.

 

 

Posizioni tra due piani

 

 

Ora che ci siamo fatti un'idea concreta è giunto il momento di vedere come si può stabilire la posizione tra due piani partendo dalle loro equazioni. Il seguente paragrafo è dedicato a lettori universitari e più in generale a chiunque abbia una minima dimestichezza con l'Algebra Lineare.

 

Posizione tra due piani dalle equazioni

 

Supponiamo di avere l'equazione di due piani in forma cartesiana

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0 \mbox{ e } \beta: a'x+b'y+c'z+d'=0

 

Lo studio della loro reciproca posizione ruota attorno al calcolo del rango delle seguenti matrici

 

A=\begin{pmatrix}a & b & c \\ a' & b' & c'\end{pmatrix} \mbox{ e } (A|b)=\begin{pmatrix}a & b & c & | & d \\ a' & b' & c' & | & d' \end{pmatrix}

 

che sono la matrice incompleta e la matrice completa associate al sistema lineare formato dalle equazioni dei due piani. Detto in altri termini, per studiare la posizione reciproca tra due piani dobbiamo studiare la compatibilità del sistema lineare

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

e per riuscirci ricorreremo al teorema di Rouché Capelli.

 

Nello specifico:

 

1) se il rango della matrice incompleta è massimo, cioè se \mbox{rango}(A)=2, allora è tale anche il rango della matrice completa (A|b) (essendo A una sua sottomatrice).

 

Di conseguenza il sistema è compatibile ed avrà \infty^1 soluzioni, per cui i due piani sono incidenti e le \infty^1 soluzioni sono date da tutti e soli i punti della retta lungo cui i due piani si incontrano. La direzione della retta intersezione dei due piani è data dal prodotto vettoriale dei coefficienti direttori dei due piani, ossia

 

\mathbf{v}_r = (a,b,c)\times (a',b',c')

 

Ricordando che due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo, allora se

 

(a,b,c)\cdot (a',b',c') = 0

 

risulterà che i due piani sono incidenti e perpendicolari.

 

 

2) Se il rango della matrice incompleta è pari a 1, cioè se \mbox{rango}(A)=1, dobbiamo distinguere due casi dettati dal valore che può assumere il rango della matrice completa.

 

2a) Se rango della matrice completa (A|b) è uguale a 2 allora il sistema è incompatibile, ossia i due piani sono paralleli.

 

2b) Se anche il rango della matrice (A|b) è uguale a 1 allora il sistema è compatibile e ammette \infty^2 soluzioni. Possiamo concludere che i due piani sono coincidenti.

 

 

Nota bene: nel caso in cui avessimo le equazioni parametriche di uno dei due piani (o per entrambi) basterebbe ricondursi dalla forma parametrica alla forma cartesiana e procedere come abbiamo visto. Qui abbiamo spiegato come procedere: dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana di un piano.

 

 


 

 

Per fissare le idee vediamo un esempio sullo studio della posizione di due piani.

 

Studiare al variare del parametro reale h\in \mathbb{R} la posizione dei due piani di equazione

 

\alpha:\ \ 2x+hy-2z+3=0 \mbox{ e } \beta:\ \ x+2y-z-1=0

 

Poiché il piano \alpha dipende da un parametro, occorre studiare al variare del parametro h\in \mathbb{R} la compatibilità del sistema lineare parametrico

 

\begin{cases}2x+hy-2z+3=0 \\ x+2y-z-1=0 \end{cases}

 

e per farlo scriviamo la matrice completa ed incompleta associate a tale sistema

 

(A|b)=\begin{pmatrix}2 & h & -2 & | & 3 \\ 1 & 2 & -1 & | & -1\end{pmatrix} \ \ \ A=\begin{pmatrix}2 & h & -2 \\ 1 & 2 & -1\end{pmatrix}

 

Per facilitare il calcolo del rango delle due matrici possiamo dapprima ridurle con il metodo di eliminazione gaussiana. Prendiamo in esame la matrice completa

 

(A|b)=\begin{pmatrix}2 & h & -2 & | & 3 \\ 1 & 2 & -1 & | & -1\end{pmatrix}

 

e sostituiamo la seconda riga con la differenza tra la prima riga ed il doppio della seconda, ossia

 

R_2 \to R_1-2R_2=(2,h,-2,3)-(2,4,-2,-2)=(0,h-4,0,5)

 

per cui otteniamo la matrice ridotta

 

(A|b)=\begin{pmatrix}2 & h & -2 & | & 3 \\ 0 & h-4 & 0 & | & 5\end{pmatrix}

 

Di conseguenza la matrice A ridotta a scala sarà ddata da

 

A=\begin{pmatrix}2 & h & -2 & \\ 0 & h-4 & 0\end{pmatrix}

 

Essa ha rango 2 per h diverso da 4, mentre per h=4 ha rango 1.

 

Inoltre, si vede immediatamente che il rango della matrice completa (A|b) è 2. Basta infatti considerare il minore di ordine due che si ottiene eliminando le prime due colonne

 

\begin{pmatrix}-2&3 \\ 0 & 5\end{pmatrix}

 

il quale ha determinante non nullo. Possiamo così concludere che:

 

- per h=4 essendo \mbox{rango}(A|b)=2 \neq \mbox{rango}(A)=1 i due piani sono paralleli;

 

- per h\neq 4 essendo \mbox{rango}(A)=\mbox{rango}(A|b)=2 i due piani sono incidenti. Inoltre il prodotto scalare tra le direzioni dei due piani è dato da

 

(2,h,-2)\cdot (1,2,-1) = 2+2h+2=2h+4

 

Per h=-2 essendo tale prodotto scalare nullo i due piani sono incidenti e perpendicolari, e l'esercizio è concluso.

 

 


 

 

Per questa lezione è tutto! Il metodo migliore per interiorizzare tutti i concetti che abbiamo appena visto consiste nel fare tanti esercizi; ne potete trovare a iosa utilizzando la barra di ricerca interna (la trovate in alto a destra in ogni pagina). Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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