Posizioni tra due rette nello spazio

In questo articolo ci occuperemo di tutte le possibili posizioni tra due rette nello spazio. Inizialmente, aiutandoci con qualche disegno, studieremo le posizioni reciproche tra due rette da un punto di vista puramente geometrico. In secondo luogo (rivolgendoci ad un pubblico di lettori universitari) spiegheremo come stabilire la posizione tra due rette partendo dalle equazioni.

 

Posizione tra due rette dello spazio da un punto di vista geometrico

 

Pensando allo spazio in tre dimensioni come ad un insieme infinito di piani, la prima distinzione da fare è la seguente: due rette dello spazio possono appartenere o non appartenere allo stesso piano. Nel primo caso parleremo di rette complanari, nel secondo di rette sghembe.

 

In altre parole, parleremo di rette complanari se esse appartengono allo stesso piano; in caso contrario, cioè se non esiste alcun piano che possa contenere entrambe le rette, saremo di fronte a due rette sghembe. Per fissare meglio le idee eccovi una rappresentazione grafica di due rette complanari e di due rette sghembe.

 

 

Posizione tra rette dello spazio

 

 

Dopo questa prima distinzione ne possiamo fare una seconda che riguarda due rette che appartengono allo stesso piano. Nello specifico due rette complanari possono essere:

 

- parallele se non hanno nessun punto in comune;

 

- incidenti se si intersecano in uno (ed un solo) punto;

 

- coincidenti se gli infiniti punti dell'una sono anche punti dell'altra.

 

 

Posizione tra rette complanari

 

 

Viceversa, se due rette dello spazio sono parallele, incidenti o coincidenti allora saranno necessariamente complanari. Senza scendere nei dettagli ci limitiamo a dirvi che questo risultato è assicurato da importante un teorema della geometria euclidea.

 

Il seguente paragrafo è dedicato ai lettori universitari e più in generale a chiunque abbia anche solo una minima dimestichezza con l'Algebra Lineare.

 

Posizione tra due rette dello spazio dalle equazioni

 

Ora che abbiamo un'idea intuitiva delle possibili posizioni reciproche tra due rette dello spazio, vediamo come si affrontano gli esercizi in cui si chiede, note le equazioni delle due rette, di determinare la posizione tra due rette a partire dalle loro equazioni

 

Siano r \mbox{ ed } s due rette di equazioni assegnate. Per stabilire se esse sono sghembe o complanari e, in quest'ultimo caso, se siamo di fronte a rette parallele, coincidenti o incidenti, il procedimento da seguire è il seguente.

 

 

1) Determiniamo le direzioni delle due rette. Diciamo \mathbf{v}_r=(v_1,v_2,v_3) il vettore direzione della retta r e \mathbf{u}_s=(u_1,u_2,u_3) il vettore le cui componenti individuano la direzione della retta s.

 

 

2) Individuiamo le coordinate cartesiane di un punto qualsiasi P_r(x_r, y_r, z_r) della retta r ed un punto qualsiasi P_s(x_s, y_s, z_s) della retta s.

 

 

3) Calcoliamo il determinante della matrice 

 

A=\begin{pmatrix} x_r-x_s & y_r-y_s & z_r-z_s \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}

 

i cui elementi della prima riga sono dati dalla differenza delle coordinate dei due punti P_r,\ P_s e le ultime due righe sono date dalle componenti dei vettori direzione delle due rette.

 

 

4) Se il determinante della matrice è diverso da zero, ossia se \mbox{det}(A) \neq 0, allora siamo di fronte a due rette sghembe. Fine!

 

 

5) Se il determinante della matrice A è uguale a zero abbiamo a che fare con due rette complanari e possiamo proseguire con lo studio.

 

 

Ricordando che due vettori sono paralleli se e solo se il loro prodotto vettoriale è nullo, calcoleremo il prodotto vettoriale \mathbf{v}_r \times \mathbf{u}_s tra i due vettori direzione delle rette r \mbox{ ed } s.

 

 

5a) Se il prodotto vettoriale non è nullo, ossia se \mathbf{v}_r \times \mathbf{u}_s \neq \mathbf{0}, allora le due rette sono incidenti e, se richiesto, si possono calcolare le coordinate cartesiane del loro punto di intersezione.

 

 

5b) Se il prodotto vettoriale è nullo, i.e. (\mathbf{v}_r \times \mathbf{u}_s = \mathbf{0}) e, ad esempio, il punto P_{r} della retta r appartiene alla retta s, allora le due rette sono coincidenti.

 

 

5c) Se il prodotto vettoriale è nullo, i.e. (\mathbf{v}_r \times \mathbf{u}_s = \mathbf{0}) ed il punto P_{r} della retta r non appartiene alla retta s, allora le due rette sono parallele.

 

 

Negli ultimi due casi 5b) e 5c), una volta stabilito che il prodotto vettoriale tra i vettori direzione è nullo, possiamo anche prendere in esame il punto P_s della retta s e vedere se esso appartiene o meno alla retta r, giungendo alle stesse identiche conclusioni.

 

Ora che abbiamo visto come procedere, per non lasciare spazio a dubbi, vediamo un esempio.

 

 

Esempio sullo studio della posizione reciproca tra due rette dello spazio

 

Sia r la retta dello spazio di equazione cartesiana

 

r:\ \begin{cases} 3x-z-20=0 \\ y-4=0 \end{cases}

 

ed s la retta dello spazio di equazione parametrica

 

s: \ \begin{cases} x=1+3t \\ y=2t \\ z=3-t \end{cases}

 

Vogliamo innanzitutto stabilire se le due rette sono complanari o sghembe. Come abbiamo detto, la prima cosa da fare consiste nel determinarne i vettori direzione. Poiché la retta r è in forma cartesiana, la sua direzione è data dal prodotto vettoriale dei coefficienti direttori dei piani che ne individuano le equazioni, quindi

 

\mathbf{v}_r=(3,0,-1) \times (0,1,0) = (-1,0,-3)

 

mentre dall'equazione parametrica della retta s possiamo trovarne immediatamente la direzione che è data dal vettore

 

\mathbf{u}_s = (3,2,-1)

 

Ora determiniamo le coordinate cartesiane di un punto qualsiasi della retta r e di un punto qualsiasi della retta s. Per quanto riguarda il punto P_r(x_r,y_r,z_r) della retta 

 

r: \ \begin{cases} 3x-z-20=0 \\ y-4=0 \end{cases}

 

dalla seconda equazione abbiamo che l'ordinata deve essere necessariamente 4, ossia y_r=4. Inoltre ponendo ad esempio z=1, dalla prima equazione abbiamo x=7, pertanto un punto della retta r è P_r(7,4,1).

 

Un procedimento alternativo per trovare direzione e generico punto della retta r è quello di passare dall'equazione cartesiana all'equazione parametrica della retta e dedurre, da quest'ultima, tutte le informazioni necessarie.

 

Per trovare le coordinate cartesiane di un punto qualsiasi della retta

 

s: \ \begin{cases} x=1+3t \\ y=2t \\ z=3-t \end{cases}

 

basta assegnare un valore qualsiasi al parametro, ad esempio t=0, così da avere P_s(1,0,3).

 

Ci siamo: abbiamo tutto quello che ci occorre per stabilire se le rette appartengono o meno ad uno stesso piano. Scriviamo la matrice

 

A=\begin{pmatrix} x_r-x_s & y_r-y_s & z_r-z_s \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7-1 & 4-0 & 1-3 \\ -1 & 0 & -3 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 3 & 2 & -1\end{pmatrix}

 

il cui determinante è nullo. Per stabilirlo si può procedere con la regola di Sarrus oppure, molto più semplicemente, osservare che la prima riga si ottiene moltiplicando per 2 la terza riga; dato che ci sono due righe linearmente dipendenti, il determinante della matrice è zero.

 

Possiamo così concludere che le due rette sono complanari. Non basta! Dobbiamo proseguire nello studio e stabilire se esse sono parallele, coincidenti o incidenti.

 

Calcoliamo il prodotto vettoriale tra i due vettori direzione

 

\mathbf{v}_r \times \mathbf{u}_s = (-1,0,-3) \times (3,2,-1) = (6,-10,-2)

 

Poiché tale prodotto è diverso dal vettore nullo, ne consegue che le due rette sono incidenti, ossia si intersecano in uno ed un solo punto.

 

Ora volendo potremmo determinare le coordinate cartesiane del punto di intersezione tra le due rette. Un possibile metodo prevede di scrivere la retta s in forma cartesiana

 

s: \ \begin{cases} x+3z-10=0 \\ y+2z-6=0 \end{cases}

 

Abbiamo omesso i passaggi ma, in caso di dubbi, potete leggere la lezione sul metodo per passare dall'equazione parametrica all'equazione cartesiana di una retta dello spazio. A questo punto le coordinate del punto di intersezione si ottengono risolvendo il sistema lineare formato dalle equazioni che formano le due rette, ossia

 

\begin{cases}3x-z-20=0 \\ y-4=0 \\ x+3z-10=0 \\ y+2z-6=0 \end{cases}

 

Escludendo ad esempio la prima equazione, ricadiamo in un sistema di tre equazioni in tre incognite

 

\begin{cases}y-4=0 \\ x+3z-10=0 \\ y+2z-6=0 \end{cases}

 

Procedendo con il metodo di sostituzione per i sistemi lineari troviamo le coordinate del punto di intersezione Q(7,4,1)

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Come avrete potuto notare il procedimento è abbastanza meccanico, dovete solo memorizzarlo ed il metodo migliore per riuscirci è fare tanti esercizi. Ne potete consultare quanti ne volete - tutti risolti - usando la barra di ricerca interna (in alto a destra in ogni pagina). Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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