Posizioni retta-piano

In questo articolo ci occuperemo delle possibili posizioni tra una retta e un piano nello spazio. La lezione è divisa in due parti: inizialmente vedremo, da un punto di vista geometrico, come rette e piani possono disporsi reciprocamente nello spazio euclideo tridimensionale. Nella seconda parte, dedicata a lettori universitari, vi diremo come stabilire la posizione retta-piano partendo dalle loro equazioni.

 

Posizioni retta-piano da un punto di vista geometrico

 

Partiamo dall'elenco di tutte le posizioni che una retta può assumere rispetto ad un piano. Essa può essere:

 

- parallela al piano, ossia non aver nessun punto in comune con esso; 

 

- incidente il piano, quando hanno uno ed un solo punto in comune;

 

giacente sul piano, cioè avere infiniti punti in comune. In questo caso tutti gli infiniti punti della retta appartengono al piano.

 

Detto in altri termini, una retta ed un piano possono avere nessuno, infiniti o un solo punto in comune.

 

Sappiamo che retta e piano sono due enti geometrici primitivi, ma possiamo ugualmente farci un'idea intuitiva delle loro possibili posizioni con l'ausilio di un foglio di carta e di una matita. Pensiamo al foglio di carta come ad un piano ed alla matita come ad una retta: tali oggetti sono immersi nella stanza in cui ci troviamo, ovvero nello spazio.

 

Possiamo disporre matita e foglio in tre modi: posando la matita sul foglio avremo un'idea di retta che giace sul piano; bucando il foglio con la matita si avrà un solo punto di intersezione tra retta e piano (coincidente con il buco). Infine, posando la matita a terra ed il foglio su un piano orizzontale (ad esempio la nostra scrivania) saremo di fronte a una retta e ad un piano paralleli.

 

Per fissare ancor meglio le idee eccovi una rappresentazione grafica delle posizioni reciproche tra retta e piano.

 

 

Posizione tra retta e piano nello spazio

 

 

Il seguente paragrafo è rivolto ai lettori universitari e più in generale a chiunque abbia dimestichezza con l'Algebra Lineare.

 

Posizione tra retta e piano dalle equazioni

 

Ora che ci siamo fatti un'idea intuitiva di come possono disporsi reciprocamente una retta ed un piano, è arrivato il momento di alzare il tiro e vedere come si affrontano gli esercizi in cui si chiede, di determinare la posizione tra una retta e un piano a partire dalle equazioni.

 

Possiamo procedere in due modi...

 

Studio della posizione tra retta e piano tramite un sistema lineare

 

Sappiamo che l'equazione cartesiana di un piano è del tipo

 

\alpha: \ ax+by+cz+d=0

 

mentre l'equazione cartesiana della retta nello spazio è della forma

 

r: \ \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}

 

Studiare la posizione reciproca tra retta e piano in forma cartesiana equivale a studiare la compatibilità del sistema lineare formato dalle loro equazioni, ossia:

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}

 

Per riuscirci basta conoscere e saper applicare il teorema di Rouché Capelli (lettura consigliata). Nello specifico, data la matrice incompleta associata al sistema lineare

 

A=\left[\begin{matrix} a & b & c \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{matrix}\right]

 

e data la matrice completa

 

(A|b)=\left[\begin{matrix} a & b & c & d\\ a_1 & b_1 & c_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \end{matrix}\right]

 

sono dati i seguenti casi:

 

\bullet \ \mbox{rango}(A)=\mbox{rango}(A|b)=3. Retta e piano sono incidenti, ossia se il rango delle due matrici è massimo allora retta e piano si incontrano in un punto le cui coordinate cartesiane sono date dall'unica soluzione del sistema.

 

\bullet \ \mbox{rango}(A) \neq \mbox{rango}(A|b)Retta e piano sono paralleli, dal momento che se il rango delle due matrici è diverso il sistema è incompatibile e, di conseguenza, non essendoci punti di intersezione, saremo di fronte a retta e piano paralleli.

 

\bullet \ \mbox{rango}(A)=\mbox{rango}(A|b) = 2La retta giace sul piano. Infatti, in questa situazione, il sistema ammetterà \infty^1 soluzioni date dagli infiniti punti della retta che si trovano sul piano.

 

Morale della favola: lo studio della posizione reciproca tra retta e piano si riconduce a calcolare il rango di due matrici e, successivamente, a trarre le dovute conclusioni in virtù del teorema di Rouché Capelli.

 

Nota bene: se ci viene data un'equazione in forma parametrica per la retta possiamo sempre passare dall'equazione parametrica all'equazione cartesiana della retta e ricondurci al caso precedente. Stesso discorso se ci viene dato il piano in forma parametrica: basta saper passare dall'equazione parametrica all'equazione cartesiana del piano.

 

 

Se non si molta dimestichezza con la risoluzione dei sistemi lineari, un modo alternativo di procedere è il seguente.

 

Studio della posizione tra retta e piano tramite i coefficienti direttori

 

Note le equazioni di un piano e di una retta, indipendentemente dal fatto che esse siano in forma parametrica o in forma cartesiana, troviamo i coefficienti direttori del piano e determiniamo i parametri direttori della retta.

 

Diciamo \mathbf{n}=(a, \ b, \ c) il vettore le cui componenti sono i parametri direttori del piano \alpha e \mathbf{v}=(v_1, \ v_2, \ v_3) il vettore che individua la direzione della retta r. Sia inoltre P_0 un qualsiasi punto appartenente alla retta.

 

Indicando con \cdot il prodotto scalare tra vettori, sono date le seguenti possibilità:

 

\bullet \ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} \neq 0retta e piano sono incidenti.

 

\bullet \ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0 \ \mbox{e} \ P_0 \notin \alpha: retta e piano sono paralleli.

 

\bullet \ \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0 \ \mbox{e} \ P_0 \in \alpha: retta è contenuta nel piano.

 

Vediamo di giustificare le precedenti affermazioni.

 

Per definizione i coefficienti direttori di un piano \mathbf{n}=(a, \ b, \ c) individuano la direzione ortogonale a tutte le direzioni parallele al piano, mentre la direzione di una retta è data dalla direzione di un qualsiasi vettore ad essa parallelo. Il seguente disegno dovrebbe chiarire meglio le idee

 

 

Coefficienti direttori di retta e piano

 

 

Ora, se il prodotto scalare tra i vettori \mathbf{n}\mbox{ e }\mathbf{v} è nullo, i due vettori sono perpendicolari, ovvero retta e piano devono disporsi in modo tale che i due vettori \mathbf{n},\ \mathbf{v} formino un angolo retto.

 

Abbiamo quindi due sole possibili configurazioni: la retta può giacere sul piano o essere parallela. Come facciamo a capire se ci troviamo nell'una o nell'altra situazione? Basta prendere un generico punto della retta e sostituirlo nell'equazione del piano. Se ricadiamo in un'uguaglianza verificata allora il punto appartiene al piano e quindi la retta giace sul piano, in caso contrario sono paralleli.

 

Viceversa, se il prodotto scalare tra i vettori direzione non è nullo, \mathbf{n} e \mathbf{v} possono formare un qualsiasi angolo, purché non retto. Dunque retta e piano dovranno necessariamente intersecarsi ossia essere incidenti. (Ragionando in termini geometrici non avremo mai alcuna difficoltà!)

 

 

Esempio sullo studio della posizione reciproca tra retta e piano con i due metodi

 

Consideriamo il piano di equazione

 

\alpha: \ x+5y-3z+5=0

 

e la retta 

 

r: \ \begin{cases} x-y-1=0 \\ 2y-z+2=0  \end{cases}

 

Procediamo dapprima con il metodo dello studio del sistema lineare dato da

 

\begin{cases}x+5y-3z+5=0 \\ x-y-1=0 \\ 2y-z+2=0  \end{cases}

 

Le due matrici associate al sistema sono

 

A=\left[\begin{matrix}1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{matrix}\right]\ \ \ \ \ (A|b)=\left[\begin{matrix}1 & 5 & -3 & 5\\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \end{matrix}\right]

 

Calcoliamo il determinante della matrice A. Procedendo, ad esempio, con la regola di Sarrus scoprirete che è zero, dunque il suo rango sarà strettamente minore di 3. Poiché il minore di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna ha determinante non nullo, abbiamo che

 

rk(A)=2

 

Passiamo ora alla matrice completa. Come potete osservare la seconda e la quarta colonna sono uguali; la matrice (A|b) è formata quindi dalla matrice A a cui è stata aggiunta una colonna uguale ad una già presente. Con questa piccola osservazione possiamo concludere che anche il suo rango è 2. Essendo allora

 

\mbox{rango}(A)=\mbox{rango}(A|b)=2

 

la retta giace sul piano.

 

Procedendo con l'altro metodo si ottiene lo stesso risultato, infatti \mathbf{n}=(1, \ 5, \ -3) è il vettore dei coefficienti direttori del piano, mentre i coefficienti direttori della retta si ottengono dal prodotto vettoriale delle direzioni dei due piani che formano la sua equazione cartesiana, ossia

 

\mathbf{v}_r=(1, \ -1, \ 0) \times (0, \ 2, \ -1) = (1, \ 1, \ 2)

 

Il prodotto scalare tra i parametri direttori del piano e il vettore direzione della retta è nullo, infatti

 

\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}_r =(1, \ 5, \ -3) \cdot (1, \ 1, \ 2)=1+5-6=0

 

Inoltre preso un generico punto P_0(1, \ 0, \ 2) appartenente alla retta, esso soddisfa anche l'equazione del piano e quindi vi appartiene. Giungiamo così alla medesima conclusione: la retta è contenuta nel piano.

 

 


 

È tutto ragazzi! Prima di salutarvi ci teniamo a dirvi che spesso, per complicare un po' gli esercizi, viene assegnata l'equazione di una retta e di un fascio di piani e bisogna studiare, al variare del parametro, la posizione reciproca tra la retta ed i piani del fascio. Niente paura! L'equazione del piano dipenderà semplicemente da uno o più parametri e ci troveremo di fronte ad un sistema lineare parametrico, tutto qui!

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: studio della posizione tra retta e piano.