Conica in forma canonica

Data l'equazione di una conica in forma generale vedremo, in questa lezione, come ricondurci all'equazione della conica in forma canonica e lo faremo analizzando due procedimenti:

 

- mediante un'opportuna rototraslazione che costruiremo passo passo;

 

- col metodo degli invarianti.

 

Il secondo di tali metodi è senza dubbio il più semplice ma ha un piccolo difetto: mentre il metodo della rototraslazione ci permette di passare dal nuovo al vecchio sistema di riferimento, quello degli invarianti ci dice, con pochissimi conti, qual è l'equazione canonica ma non ci permette di tornare indietro.

 

Forma canonica di una conica mediante rototraslazione

 

Data una conica non degenere in forma generale:

 

a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22} y^2 +2a_{13} x + 2a_{23} y + a_{33}=0

 

Indicate con

 

A= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right] e B= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{matrix}\right]

 

la matrice completa ed incompleta (o dei termini quadratici) associate alla conica, per ottenere l'equazione canonica dobbiamo eseguire:

 

- una rotazione in modo che gli assi (o l'asse) della canonica siano paralleli agli assi cartesiani x e y. Da un punto di vista dell'equazione questo porterà alla scomparsa del termine xy.

 

- Una traslazione che porterà a far coincidere il centro (di ellisse o iperbole) o il vertice (se si tratta di una parabola) con l'origine degli assi cartesiani. Questo porterà alla scomparsa dei termini x e y nell'equazione di partenza.

 

Vediamo ora come costruire queste due trasformazioni.

 

Premettiamo che essendo B una matrice simmetrica essa è diagonalizzabile, ovvero esisterà una matrice R tale che:

 

R^{-1}BR=D

 

dove con R^{-1} indichiamo l'inversa della matrice R e con D una matrice diagonale.

 

Rotazione

 

1-R) si determinano autovalori e relativi autovettori della matrice B;

 

2-R) si normalizzano gli autovettori trovati;

 

3-R) la matrice R di rotazione sarà la matrice che avrà come colonne i vettori trovati al punto precedente.

 

I passi visti fin qui corrispondono al cambiamento di base:

 

(*) \ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}  \right] = R \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right]

 

cioè utilizzando (*) troveremo i valori di x e y in funzione di X e Y che sostituiremo nell'equazione di partenza. Se tutto è andato bene il termine XY non ci sarà. Se non fosse ancora sparito dovete rivedere i vostri conti.

 

Facciamoci furbi! Dato per scontato che abbiamo trovato correttamente la matrice R, la forma quadratica: a_{11}x^2 + 2a_{12} xy + a_{22}y^2 nelle nuove coordinate X,Y sarà:

 

\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2

 

dove \lambda_1, \ \lambda_2 sono gli autovalori della matrice B. Attenzione però all'ordine! \lambda_1 sarà l'autovalore corrispondente all'autovettore che abbiamo messo sulla prima colonna di R e \lambda_2 l'autovalore corrispondente all'autovettore che abbiamo messo sulla seconda.

 

Traslazione

 

Distinguiamo due casi:

 

1-T) Se siamo di fronte ad una conica a centro (ellisse o iperbole) ricerchiamo il centro della conica.

 

2-T) Se abbiamo una parabola ne ricerchiamo il vertice.

 

In definitiva indicate con (x_0, y_0) le coordinate del centro (o del vertice nel caso della parabola) della nostra conica, la rototraslazione che ci farà passare dall'equazione generale a quella canonica sarà:

 

\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}  \right] = R \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \end{matrix} \right]

 

Viceversa, quella che ci farà tornare nel vecchio sistema di riferimento sarà

 

\left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}  \right] = R^T \left[ \begin{matrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{matrix} \right]

 

dove R^T è la trasposta della matrice R, che coincide con la sua inversa in quanto R è una matrice ortonormale.

 

Forma canonica col metodo degli invarianti

 

Vediamo innanzitutto quali sono gli invarianti di una conica:

 

I_3: invariante cubico. Altro non è che il determinante della matrice completa Aassociata alla conica

 

I_2: invariante quadratico. È il determinante della matrice B dei termini quadratici

 

I_1: invariante lineare dato dalla traccia della matrice dei termini quadratici.

 

Per passare dalla forma generale all'equazione canonica di una conica col metodo degli invarianti si procede il modo seguente:

 

- classifichiamo la conica assicurandoci che non sia degenere

 

- calcoliamo gli autovalori \lambda_1, \ \lambda_2 della matrice B dei termini quadratici:

 

se si tratta di un'ellisse o di un'iperbole sappiamo che dobbiamo arrivare ad un'equazione del tipo: ax^2 \pm by^2=\pm 1 passando da un'equazione del tipo: \lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + t =0 .

 

Per trovare t imporremo che:

 

det(A) = det \left[ \begin{matrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & t\end{matrix} \right]

 

Se si tratta di una parabola dobbiamo arrivare ad un'equazione del tipo: x^2-2ty=0 passando da un'equazione del tipo: \lambda x^2+2ty=0, dove \lambda è l'autovalore non nullo della matrice B. Per trovare t imporremo che:

det(A) = det \left[ \begin{matrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t \\ 0 & t & 0\end{matrix} \right]

 

Esempio sulla riduzione di una conica in forma canonica

 

Ridurre in forma canonica la seguente conica:

 

5x^2+5y^2-6xy+16\sqrt{2}x+38=0

 

Come prima cosa classifichiamola:

 

A= \left[ \begin{matrix} 5 & -3 & 8\sqrt{2} \\ -3 & 5 & 0 \\ 8\sqrt{2} & 0 & 38\end{matrix}\right] \ \ \ B= \left[ \begin{matrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{matrix}\right]

 

det(A)=-32 \neq 0: conica non degenere

 

det(B)=16 \textgreater 0: ellisse

 

Iniziamo col determinarne la forma canonica col metodo della rototraslazione.

 

1-R) Troviamo autovalori e relativi autovettori della matrice B:

 

det(B-I \lambda)=0 \iff (5-\lambda)^2-9=0 \iff \lambda^2-10\lambda+16=0 \iff \lambda_1=2, \ \lambda_2=8 

 

I relativi autospazi sono: S_2 generato dal vettore (1,1)

 

S_8 generato dal vettore (-1,1)

 

2-R) Normalizziamo i vettori trovati al punto precedente:

 

\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right), \ \ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)

 

3-R) La matrice R di rotazione sarà:

 

R= \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]

 

Indicate con X,Y le nuove coordinate abbiamo quindi che:

 

\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}  \right] = R \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y \\ \frac{1}{\sqrt{2}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y \end{matrix} \right]

 

Ovvero:

 

\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{2}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y \\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y\end{cases}

 

Andando a sostituire nell'equazione di partenza avremo:

 

(\spadesuit) \ 2X^2+8Y^2+16X-16Y+38=0

 

Osserviamo che il termine XY è sparito e che 2 e 8 (coefficienti di X^2 e Y^2 rispettivamente) sono proprio gli autvalori della matrice B.

 

Effettuiamo ora una traslazione, riferita, attenzione, alla conica (\spadesuit), per far coincidere il suo centro C(-4, 1) con l'origine degli assi cartesiani.

 

Dette x',y' le coordinate del nuovo sistema di riferimento, la traslazione sarà:

 

\begin{cases}X=x'-4 \\ Y=y'+1 \end{cases}

 

Sostituendo in (\spadesuit) avremo (finalmente) la nostra conica in forma canonica:

 

2x'^2 + 8y'^2-2=0, ovvero x'^2 + 4y'^2=1

 

Per chi è particolarmente avverso ai conti (Yell) e vuol fare il tutto in un solo colpo, una volta trovata la matrice di rotazione R, potrà trovare il centro della conica di partenza (x_0, \ y_0) e troverà la forma canonica mediante l'unica trasformazione di coordinate:

 

\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}  \right] = R \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \end{matrix} \right]

 

Procediamo ora col metodo degli invarianti

 

La conica da ridurre alla forma canonica era: 5x^2+5y^2-6xy+16\sqrt{2}x+38=0

 

ellisse con determinante della matrice completa (det(A)=-32) e autovalori della matrice dei termini quadratici: \lambda_1=2 e \lambda_2=8.

 

La nostra equazione canonica, come visto nella parte teorica, sarà quindi del tipo: 2x^2+8y^2+t=0, con t che si ottiene ponendo:

 

det(A)=-32=det \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & t \end{matrix}\right]=16t

 

Ovvero: t=-2 e quindi la forma canonica della nostra conica è proprio:

 

2x^2+8y^2-2=0 \to x^2+4y^2=1

 

che è la stessa che abbiamo ottenuto col metodo della rototraslazione! Cool

 

Buon Proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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