Fasci di coniche

In questa lezione parleremo dei fasci di coniche soffermandoci sulle due tipologie di esercizi che si incontrano in sede d'esame, ovvero:

 

- studiare un fascio di coniche in base ai valori che può assumere il parametro e determinarne i punti base.

 

- scrivere l'equazione del fascio che soddisfi determinate caratteristiche date dal testo dell'esercizio.

 

Cos'è un fascio di coniche

 

Siano \mathrm{C_1} e \mathrm{C_2} due coniche distinte del piano. Si dice fascio di coniche individuato da \mathrm{C_1} e \mathrm{C_2} la totalità delle coniche la cui equazione è combinazione lineare delle equazioni di \mathrm{C_1} e \mathrm{C_2}, ovvero:

 

\mathrm{F}: \ \lambda \mathrm{C_1}+\mu \mathrm{C_2}=0

 

con  \lambda, \mu \in \mathbb{R},\ (\lambda, \mu) \neq (0,0)


Supponendo, ad esempio, che sia \lambda\neq 0 e ponendo k= \frac{\mu}{\lambda}, possiamo scrivere l'equazione del fascio come:


\mathrm{F}: \ \mathrm{C_1}+k \mathrm{C_2}=0

 

\mathrm{C_1} e \mathrm{C_2} si diranno le coniche base del fascio e i loro punti di intersezione saranno i punti base del fascio. I punti base distinti saranno al massimo quattro, in quanto per cinque punti distinti distinti passa una ed una sola conica. Quindi se ne abbiamo più di quattro il fascio non avrebbe ragion d'esistere.

 

Come determinare l'equazione di un fascio di coniche

 

Capito cos'è un fascio di coniche teniamo anche ben presente che un fascio di coniche può essere determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte, quindi anche dalle coniche degeneri che, come vedremo tra poco, saranno le più facili da determinare.

 

Il problema che ora affronteremo sarà quindi quello di capire, dal testo dell'esercizio, quali saranno le coniche base \mathrm{C_1} e \mathrm{C_2} che ci permetteranno di costruire l'equazione del fascio richiesta.

 

 

Caso 1) Ci vengono assegnati quattro punti distinti non allineati A, B, C, D

 

Fascio di coniche per quattro punti



In questo caso abbiamo di che sbizzarrirci. Se ci vengono dati infatti quattro punti distinti avremo la bellezza di 3 coniche degeneri che saranno:

 

- retta per AB unione retta per DC (in rosso)

- retta per AD unione retta per BC (in verde)

- retta per AC unione retta per BD (in blu)

 

Le coniche degeneri da poter considerare per la costruzione del fascio sono solo e soltanto le tre che ho appena scritto (ovviamente a noi bastano due che sceglieremo col criterio della comodità e facilità di calcolo).

 

Piccola parentesi: nel seguito leggerete: "punto con molteplicità...". Con tale scrittura vogliamo indicare che dei 4 punti distinti sopra indicati, 2 o più di essi vengono a coincidere e geometricamente questo si tradurrà con la presenza di una retta tangente a tutte le coniche del fascio nel punto con molteplicità.

 

 


 

 

Caso 2) Tre punti base A, B, C uno dei quali, ad esempio A ha molteplicità due e ciò (attenzione) è dovuto al fatto che in A vi è una tangente comune a tutte le coniche del fascio. Tale fascio prende il nome di: fascio di coniche tangenti

 

Fascio di coniche tangenti


In questo caso le coniche degeneri da dover considerare sono:

 

- retta tangente in A unione retta per BC (in rosso)

 

- retta per AB unione retta per BC

 

 


 

 

Caso 3) Due punti base distinti A e B entrambi con molteplicità due. Ciò, come detto prima si traduce col fatto che sia A che B sono punti di tangenza alle coniche che formeranno il fascio che per questo si dirà: fascio di coniche bitangenti

 

Fascio di coniche bitangenti

 

 Come coniche base prenderemo allora le due coniche:

 

- retta AB contata due volte (in blu)

 

- retta tangente in A unione retta tangente in B (in rosso)

 

 


 

 

Caso 4) due punti distinti A e B di cui uno, ad esempio A, con molteplicità 3. Tale fascio prende il nome di fascio di coniche osculatrici:

 

 Fascio di coniche osculatrici

 

In questo caso avremo una sola conica degenere:

 

- retta tangente in A unione retta per AB

 

sarà il testo del problema a fornirci l'altra conica che andrà a formare il fascio.

 

 


 

 

Caso 5) Un solo punto A con molteplicità 4 (ovvero tutti e quattro i punti base coincidono). Tale fascio viene detto: fascio di coniche iperosculatrici

 

Fascio di coniche iperosculatrici

 

Avremo anche in questo caso una sola conica degenere (la retta tangente passante per A contata due volte) e sarà necessariamente il testo a fornirci l'altra conica che andrà a formare il fascio.

 

Come studiare un fascio di coniche al variare del parametro

 

In questo caso la faccenda è più semplice di quanto si possa immaginare Laughing basta infatti scrivere l'equazione del fascio in forma normale, cioè del tipo:

 

a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2 a_{12}xy + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0

 

(dove tutti o alcuni dei coefficienti saranno in funzione di un parametro)

 

e pensarla come equazione di una conica del piano. Si procederà quindi alla classificazione e allo studio come ampiamente spiegato nelle lezioni:

 

- classificazione di una conica

 

- studio dell'equazione di una conica

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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