Studio di una conica

Dopo aver visto, nella precedente lezione, come classificare una conica passiamo ora al vero e proprio studio delle coniche a partire dall'equazione, ossia al metodo per determinare centro, fuochi, assi di una conica e quant'altro.

 

Studio di una conica degenere

 

Distinguiamo due casi:

 

La conica è semplicemente degenere

 

Essa come abbiamo visto si spezza in due rette distinte. Per trovarne le equazioni si considera l'equazione di partenza e si raccoglie rispetto ad un'incognita. In pratica si considera una delle due variabili come variabile e l'altra come parametro, dopodiché si risolve l'equazione rispetto alla variabile scelta.

 

Tali rette si incontreranno in un punto, eventualmente improprio che si dirà punto doppio.

 

Se stiamo lavorando nel piano proiettivo e quindi in coordinate omogenee, quanto appena detto equivale ad intersecare la conica con la retta impropria di equazione x_3= 0.

 

Esempio: classificare e studiare la conica di equazione:

 

x^2 + 3x + 4y^2 + 4xy + 6y- 18 = 0

 

A voi il compito di vedere che si tratta di una conica semplicemente degenere. Troviamo le due rette in cui si spezza la conica: raccogliamo rispetto a x e otteniamo

 

x^2+(3+4y)x+(4y^2+6y-18) = 0

 

Calcoliamo il delta trattando y come un parametro, e ricaviamo \Delta =81. Abbiamo così due soluzioni, che calcoliamo esplicitamente con la formula per le equazioni di secondo grado e troviamo x= 3-2y e x= -6-2y, ovvero:

 

x+2y-3 = 0 e x+2y+6 = 0

 

che sono due rette parallele. Il loro punto di intersezione sarà quindi il punto improprio (o direzione) P_{\infty}(2,-1,0)

 

(2) La conica è doppiamente degenere

 

Per trovare le rette da cui è formata (in realtà è una contata due volte) si procede come nel caso precedente. I suoi punti doppi saranno \infty^{1}, dati dagli infiniti punti della retta.

 

Esempio: consideriamo la conica di equazione: x^2 + 4xy + 4y^2= 0

 

Verificate che è doppiamente degenere. Fatto questo, risolvendo tale equazione rispetto ad una variabile (trattando l'altra come un parametro), o semplicemente osservando che siamo di fronte al quadrato di un binomio, la retta (contata due volte) da cui è formata la conica è:

 

x+2y= 0 e gli \infty^{1 } punti doppi (-2t,t)

 

Studio di una conica non degenere

 

Generalmente, sui libri universitari, si fa una trattazione unica per tutti e tre i tipi di coniche non degeneri (parabola, ellisse, iperbole). Noi, come nostro solito, vogliamo fornirti un qualcosa in più e di più dettagliato, quindi analizzeremo i tre casi distintamente.

 

Data una conica:

 

a_{11} x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33}=0

 

non degenere, se:

 

A) è una parabola

 

- Centro: è il polo della retta impropria e come tale è un punto improprio, ossia sarà della forma (l,m,0) e le sue coordinate si ottengono mettendo a sistema l'equazione della parabola (scritta in coordinate omogenee) con l'equazione della retta impropria x_3=0.

 

- Asintoti: due asintoti coincidenti con la retta impropria.

 

- Asse: è la polare del punto improprio ortogonale al centro. Come tale, supponendo che il centro abbia coordinate (l,m,0), la direzione ortogonale al centro sarà (m,-l,0) e l'equazione dell'asse della parabola sarà (indicata con A la matrice associata alla conica):

 

\left[ \begin{matrix}m & -l & 0 \end{matrix} \right]\ A \ \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right] = 0

  

- Vertice: intersezione dell'asse con la parabola

 

- Fuoco: si considerano le rette isotrope di equazione y=\pm ix + (a+ib) tangenti alla conica. Il fuoco avrà coordinate F(-b, a)

 

B) è un'ellisse

 

- Le coordinate del centro si ottengono risolvendo il sistema

 

\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0\\ a_{12}x+a_{22}y+a_{23}=0 \end{cases}

 

- Gli assi sono le rette passanti per il centro e di parametri direttori (l,m) che soddisfano

 

a_{12}l^2+(a_{22}-a_{11})lm-a_{12}m^2 = 0

 

- I vertici si ottengono dall'intersezione tra assi ed ellisse.

 

- Per i fuochi si procede come nella parabola.

 

C) è un'iperbole

 

- Per il centro, gli assi e i vertici si procede come nel caso dell'ellisse.

 

- Asintoti: tangenti alla conica in un punto improprio. Per determinarne l'equazione:

 

Si risolve l'equazione formata dai termini di secondo grado, scegliendo una delle due variabili come variabile e l'altra come parametro.

 

Si esprimono le soluzioni con la solita formula per le equazioni di secondo grado, e le si usano per determinare i punti impropri assegnando ad una delle due variabili un valore arbitrario. Gli asintoti saranno quindi le due rette polari alla conica in tali punti.

 

- Per i fuochi si procede come fatto nella parabola.

 

 


 

Nota Bene: Non tutti i docenti universitari utilizzano i metodi sopra descritti per la ricerca delle "parti notevoli" di una conica. Molti preferiscono ricondursi all'equazione canonica della conica mediante un'opportuna rototraslazione e studiarne quindi tale equazione per poi ricondurre le equazioni ed i punti trovati nel sistema di riferimento originario.

 

Buon Proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino

 

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