Polarità di una conica, polo e retta polare

In questa lezione parleremo di polarità definita da una conica e quindi di polo e retta polare. Non ci soffermeremo tanto sui concetti teorici quanto su come si determinano poli e rette polari definiti da una conica.

 

Polarità definita da una conica

 

Consideriamo una conica non degenere. Essa determina una corrispondenza biunivoca tra punti e rette del piano proiettivo. Tale corrispondenza biunivoca viene definita come polarità. Per capirci, una polarità consiste nell'accoppiare in un certo modo punti e rette rispetto ad una conica, cioè, preso un qualsiasi punto a partire da esso possiamo trovare una (ed una sola) retta che chiameremo retta polare e viceversa partendo da una qualsiasi retta possiamo trovare uno ed un solo punto che sarà il suo polo.

 

Per farla breve, sempre facendo riferimento ad una conica: ogni punto ha una sua retta polare ed ogni retta ha un suo polo.

 

Vediamo ora come si procede praticamente per fare questi "accoppiamenti".

 

Come determinare la retta polare di un punto

 

Per una maggiore chiarezza analizziamo, uno ad uno, i vari casi che possono presentarsi. Supponiamo di avere un punto P(x_p, y_p) ed una generica conica non degenere.

 

1) il punto appartiene alla conica

 

La retta polare è la retta tangente la conica in quel punto. Per determinarla si può procedere in due modi

 

1A) Metodo classico che abbiamo imparato alla scuola superiore:

 

- scrivere l'equazione del fascio di rette avente come centro il punto P: y-y_p = m(x-x_p);

 

- mettere a sistema tale fascio con l'equazione della conica;

 

- ne ricaviamo un'equazione di secondo grado col parametro m di cui calcoleremo il Delta e lo porremo uguale a zero.

 

1B) Metodo che consigliamo (in quanto molto più veloce)

 

- Si scrive la matrice associata alla conica, chiamiamola A.

 

- Si trasforma il punto P in coordinate omogenee: P(x_p, y_p, 1).

 

- L'equazione della retta cercata sarà:

 

\left[ \begin{matrix} x_p & y_p & 1\end{matrix} \right] \ A \ \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ 1\end{matrix} \right] = 0

 

Esempio: consideriamo la conica di equazione: x^2+2xy+2y^2-5=0. Trovare la retta polare del punto P(1,1)

 

Dopo aver osservato che il punto P appartiene alla conica, determiniamone la retta polare col secondo metodo sopra enunciato. La matrice associata alla conica è:

 

\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5\end{matrix} \right]

 

Le coordinate omogenee del punto P sono: P(1,1,1), quindi detta r la polare del punto P riferita a tale conica, essa avrà equazione data da:

 

r: \ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1\end{matrix} \right] \ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5\end{matrix} \right] \ \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ 1\end{matrix} \right] = 0

 

ovvero, dopo aver eseguito il prodotto riga per colonna, r: \ 2x+3y-5=0

 

2) il punto P è esterno alla conica

 

Per trovare la retta polare si procede in questo modo:

 

- si conducono dal punto P le due tangenti alla conica;

 

- si trovano i due punti di intersezione Q e Q' tra le tangenti e la conica;

 

- La polare del punto P riferita alla conica è la retta per i due punti Q e Q'.

 

Per aiutarvi a ricordare eccovi una rappresentazione grafica (in rosso polo e sua retta polare):

 

Retta polare di un punto esterno

 

3) il punto P è interno alla conica

 

Per trovare l'equazione della retta polare:

 

- si conducono dal punto P due rette r ed s (in blu) secanti la conica in due punti distinti;

 

- per ognuno dei 4 punti di intersezione: R_1, \ R_2, \ S_1, \ S_2 si trovano le equazioni delle tangenti alla conica in quei punti, procedendo come visto nel caso 1)

 

- le tangenti costruite a partire da r (in verde) si incontreranno in un punto Q, quelle costruite a partire da s (in arancione) si incontreranno in un punto Q'

 

- la polare cercata è la retta passante per i due punti Q e Q'.

 

Disegno di riepilogo (in rosso polo e sua polare):

 

Retta polare per un punto interno

 

Come determinare il polo di una retta riferita ad una conica


Come fatto prima, procediamo per casi.

 

A) la retta è tangente la conica

 

Poco male! Il suo polo sarà proprio il punto di tangenza.

 

B) la retta è secante la conica in due punti distinti

 

Per trovare il polo:

 

- trovo i punti di intersezione tra retta e conica;

 

- per ciascun punto mi ricavo la retta tangente (o polare) alla conica in quel punto (come visto nel caso 1)

 

- Il punto di intersezione tra le due rette (eventualmente improprio se esse sono parallele) è il polo cercato.

 

In rosso, come di consueto, retta e suo polo rispetto alla conica.

 

C) la retta è esterna alla conica

 

In questo caso per determinarne il polo:

 

- si prendono due punti a piacere sulla retta;

 

- si costruiscono le polari alla conica per tali punti come visto nel caso 2) visto che i punti appartenendo ad una retta esterna sono anch'essi esterni alla conica

 

- L'intersezione tra le due polari così costruite sarà il polo cercato.

 

 


 

 

Chiudiamo questa intensa lezione con un caso particolarissimo che riserviamo ai più volenterosi.

 

Consideriamo una parabola (qualsiasi) ed il suo asse (o una retta ad esso parallela). Domanda: qual è il suo polo rispetto alla parabola?

 

Questo caso non rientra in nessuno dei 3 analizzati precedentemente in quanto l'asse della parabola (o una retta ad esso parallela) interseca la parabola in un solo punto. Come si procede in questo caso?

 

Basta ricordare che l'asse di una parabola è, per definizione, la polare del punto improprio ortogonale al centro. Quindi basta trovare il centro della parabola. Supponiamo che esso abbia coordinate omogenee (l,m,0). Il suo asse avrà equazione:

 

 \left[ \begin{matrix} m & -l & 0 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right] = 0

 

dove A è la matrice associata alla parabola e (m, \ -l, \ 0) è la direzione ortogonale al centro.

 

Ricordando ora che polo e sua retta polare sono in corrispondenza biunivoca (visto ad inizio lezione) possiamo dire che il polo dell'asse (o di una sua parallela) è la direzione ortogonale al centro, ovvero è il punto improprio (m, \ -l, \ 0)

 

Adesso è davvero tutto! Laughing

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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