Piano proiettivo e coordinate omogenee

Che acciderbolina è il piano proiettivo? Cosa sono le coordinate omogenee, e cosa sono i punti impropri? Se siete incappati in questa lezione starete sicuramente studiando per un esame universitario e, ormai, dovreste aver capito che la Matematica è un continuo crescendo di idee e concetti...Fino alla scuola superiore ci hanno detto che due rette parallele e distinte "non si incontrano mai" e scommetto che, da qualcuno, avrete sentito dire: "Due rette parallele si incontrano all'infinito".

 

Bene! È arrivato il momento di sfatare tale mito e sarà proprio il piano proiettivo a farlo!

 

Dalle coordinate non omogenee alle coordinate omogenee

 

D'ora in avanti le coordinate cartesiane (x,y) di un generico punto P del piano le ribattezzeremo coordinate non omogenee, mentre diremo coordinate omogenee del punto P una qualsiasi terna di numeri (x_1, x_2, x_3) tali che:

 

x=\frac{x_1}{x_3},\ \ y=\frac{x_2}{x_3},\ \ x_3 \neq 0

 

Attenzione! L'abitudine ci fa pensare alla scrittura (x_1, x_2, x_3) come alle coordinate di un punto nello spazio: non è così! Stiamo sempre lavorando nel piano!

 

Prima di continuare rispondiamo ad un'altra domanda che sicuramente vi starete ponendo: se siamo di fronte ad un'equazione o ad un punto con tre variabili, come si fa a capire se siamo nel piano (ampliato) o nello spazio?

 

Sarà il contesto a dircelo ed il nome delle coordinate. Infatti si conviene che x,y,z indichino coordinate spaziali mentre x_1,x_2,x_3 sono le coordinate omogenee di un punto nel piano ampliato. Detto ciò, continuiamo! Tongue out

 

Le coordinate omogenee sono definite a meno di un fattore di proporzionalità. Cosa vuol dire?

 

Ad esempio: (3,5,1);\ (6,10,2);\ (-3,-5,-1) e più in generale (3h,5h,h), \ h \in \mathbb{Z},\ h \neq 0 rappresentano tutte lo stesso punto punto avente coordinate non omogenee (cartesiane): (3,5).

 

Coordinate omogenee e punti all'infinito

 

Le coordinate omogenee consentono lo studio dei cosiddetti punti all'infinito (o punti impropri) che indicheremo con P_{\infty} ed altro non sono se non la direzione comune ad un fascio di rette parallele.

 

Alt! Cosa vogliamo dire con questo?

 

Si considera un punto improprio quando viene presa in considerazione una qualsiasi retta e tale punto indicherà proprio la sua direzione. Si conviene dunque che due rette parallele individuano lo stesso punto improprio e quindi:

 

due rette del piano proiettivo hanno sempre un punto (eventualmente improprio) in comune.

 

Come si indica un punto improprio?

 

Consideriamo l'equazione di una retta r:\ ax+by+c=0

 

Il suo punto improprio o direzione sarà P_{\infty} (b,-a,0) 

 

Esempio: Siano r:\ 2x+3y-2=0 ed s:\ 2x+3y+7=0 le quali sono due rette parallele. Il punto improprio di entrambe sarà P_{\infty}(b,-a,0)= (3,-2,0) e sarà proprio esso il punto (all'infinito) di intersezione tra r ed s.

 

Osservate che tale punto appartiene a tale rette. Scriviamo infatti le loro equazioni in coordinate omogenee. Come abbiamo visto poco fa basta porre:

 

x=\frac{x_1}{x_3},\ \ y=\frac{x_2}{x_3},\ \ x_3 \neq 0

 

Abbiamo quindi

 

r:\ 2\frac{x_1}{x_3}+3\frac{x_2}{x_3}-2=0 \to r: \ 2x_1+3x_2-2x_3=0

 

s:\ 2\frac{x_1}{x_3}+3\frac{x_2}{x_3}+7=0 \to s: \ 2x_2+3x_2+7x_3=0

 

Sostituite in esse le coordinate del punto P_{\infty} (3,-2,0): otterrete un'uguaglianza verificata. ;)

 

La retta impropria

 

Si definisce retta impropria la retta che contiene tutti e soli i punti impropri. Qual è la sua equazione?

 

Abbiamo visto che tutti i punti impropri sono del tipo (x_1,x_2,0), ovvero x_3=0. Questa è proprio la "caratteristica" che li accumuna tutti. Per questa ragione l'equazione della retta impropria è

 

x_3=0

 

Il piano proiettivo

 

Dall'inizio della lezione stiamo parlando implicitamente di piano proiettivo ma ancora non lo abbiamo definito come si deve. Ora abbiamo tutti gli strumenti per farlo: si definisce piano proiettivo l'unione tra il piano cartesiano e la retta impropria.

 

 

Per questa lezione è tutto! Lo ammettiamo...Quelli che abbiamo appena visto sono concetti che inizialmente sembrano astratti e difficili da digerire. Ne apprezzerete meglio le potenzialità nel momento in cui inizierete a lavorarci assiduamente. Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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