Dalle equazioni parametriche della retta alle cartesiane

In questa lezione mostreremo come passare dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di una retta nello spazio. Nella lezione successiva vedremo poi come passare dalla rappresentazione cartesiana a quella parametrica.

 

Passaggio dalle equazioni parametriche alle cartesiane di una retta

 

Si tratta di un procedimento molto semplice e allo stesso tempo molto utile nella risoluzione degli esercizi di Geometria dello Spazio che coinvolgono le rette. Vediamo innanzitutto il metodo in generale e in astratto, successivamente lo applicheremo in un esempio.

 

Supponiamo di disporre delle equazioni parametriche di una retta

 

r:\begin{cases}x=x_P+at\\ y=y_P+bt\\ z=z_P+ct\end{cases}

 

con t\in\mathbb{R} un parametro reale, e di volerne ricavare le equazioni cartesiane, dunque di ottenere una rappresentazione del tipo

 

r:\begin{cases}gx+fy+hz+l=0\\ g'x+f'y+h'z+l'=0\end{cases}

 

Per farlo dovremo considerare una delle tre equazioni parametriche in cui compare il parametro t, ad esempio z=z(t), e ricavare un'espressione per il parametro t dipendente dalla variabile, dunque un'equazione della forma t=t(z).

 

t=\frac{1}{c}[z-z_P]

 

A questo punto sostituiamo t=t(z) nelle restanti equazioni

 

\begin{cases}x=x_P+a\cdot \frac{1}{c}[z-z_P]\\ y=y_P+b\cdot \frac{1}{c}\cdot [z-z_P]\end{cases}

 

e abbiamo finito! :) Le due equazioni appena scritte

 

\begin{cases}x-\frac{a}{c}z+\left[-x_P+\frac{az_P}{c}\right]=0\\ y-\frac{b}{c}z+\left[-y_P+\frac{bz_P}{c}\right]=0\end{cases}

 

descrivono la retta r in forma cartesiana.

 

 

Casi particolari

 

Prestate attenzione all'unica richiesta che abbiamo avanzato all'inizio

 

"Per farlo dovremo considerare una delle tre equazioni parametriche in cui compare il parametro t"

 

...Wink

 

1) Se una delle tre equazioni parametriche non dipende dal parametro t, e dunque è della forma \mbox{variabile}=\mbox{costante}, ad esempio


\begin{cases}x=x_P+at\\ y=y_P+bt\\ z=z_P\end{cases}

 

allora dovremo lavorare solamente con le due equazioni contenenti il parametro t e ragionare come indicato in precedenza. L'equazione \mbox{variabile}=\mbox{costante}, nel nostro caso z=z_P, è già una delle due equazioni cartesiane di r.

 

2) Se due equazioni su tre sono del tipo \mbox{variabile}=\mbox{costante}, ad esempio

 

\begin{cases}x=x_P+at\\ y=y_P\\ z=z_P\end{cases}

 

allora non dobbiamo fare nulla. Abbiamo già le equazioni cartesiane della retta:

 

\begin{cases}y=y_P\\ z=z_P\end{cases}

 

Esempio

 

Prendiamo la retta r\in \mathbb{E}^3 definita parametricamente da

 

\begin{cases}x=2-3t\\ y=-1+t\\ z=5+5t\end{cases}

 

e usiamo la seconda equazione per esprimere il parametro t in termini della corrispondente variabile, dunque t=t(y)

 

t=y+1

 

Ora sostituiamo tale rappresentazione nelle restanti equazioni

 

\begin{cases}x=2-3(y+1)\\ z=5+5(y+1)\end{cases}

 

da cui ricaviamo direttamente la forma cartesiana di r

 

\begin{cases}x+3y+1=0\\ -5y+z-10=0\end{cases}.

 

 


 

È tutto ragazzuoli. :) Se avete qualche dubbio o se volete dare uno sguardo a qualche esercizio risolto, fatevi un giro su YM e usate la barra di ricerca: abbiamo risposto a migliaia di domande e svolto altrettanti esercizi...

 

Gule gule, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (a.k.a. Ω)

 

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