Classificazione delle coniche

In questo articolo vedremo il metodo di classificazione delle coniche mediante le matrici e in particolare mediante il calcolo del determinante.

 

In base al vostro corso di studi vi troverete a dover classificare le coniche o nel piano cartesiano o nel piano proiettivo. Non allarmatevi! Da un punto di vista della classificazione è indifferente il campo in cui stiamo lavorando. ;)

 

Coniche in coordinate omogenee e non omogenee

 

L'equazione generale di una conica in coordinate cartesiane (non omogenee) è:

 

(*) \ a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

 

Volendo passare alle coordinate omogenee, come abbiamo visto nella lezione sul piano proiettivo, basta porre:

 

x=\frac{x_1}{x_3}, \ y=\frac{x_2}{x_3}, con x_3 \neq 0

 

sostituire in (*) ed ottenere:

 

(**) \ a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0

 

Viceversa, volendo passare dalle coordinate omogenee a quelle non omogenee, ovvero volendo passare da (**) a (*) basta dividere tutti i membri di (**) per x_3^2 ed imporre sempre:

 

x=\frac{x_1}{x_3}, \ y=\frac{x_2}{x_3}

 

Esempio 

 

L'equazione (in coordinate non omogenee) della conica

 

x^2+2xy+3y^2+x+2y+1=0 in coordinate omogenee sarà

 

x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2+x_1x_3+2x_2x_3+x_3^2=0

 

Mentre l'equazione (in coordinate omogenee):

 

x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2-2x_1x_3+2x_3^2=0 sarà, in coordinate cartesiane (o non omogenee che dir si voglia):

 

x^2+2xy+2y^2-2x+2=0

 

Come classificare le coniche nel piano

 

Data una conica in forma generale, cioè un'equazione del tipo

 

a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

 

se stiamo lavorando in coordinate non omogenee, oppure un'equazione del tipo:

 

a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0

 

se stiamo lavorando nel piano ampliato, ad esse assoceremo due matrici:

 

- la matrice A dei coefficienti:

 

A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]

 

- la matrice B dei termini quadratici:

 

B=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right]

 

che si ottiene dalla matrice A eliminando la terza riga e le terza colonna.

 

Nota bene: per costruire la matrice A tutti i valori dell'equazione di partenza, ad eccezione di quelli che andranno a formare la diagonale principale, ovvero a_{11},a_{22},a_{33}vanno dimezzati. Inoltre A e B saranno due matrici simmetriche che si possono costruire aiutandosi coi seguenti schemini: 


\begin{array}{c | c c c } & \mbox{x} & \mbox{y} & \mbox{1} \\ \cline{1-4} \mbox{x} & & \\ \mbox{y} & & \\ \mbox{1} & &  \end{array}

 (in coordinate non omogenee)

 

\begin{array}{c | c c c } & \mbox{x}_1 & \mbox{x}_2 & \mbox{x}_3 \\ \cline{1-4} \mbox{x}_1 & & \\ \mbox{x}_2 & & \\ \mbox{x}_3 & &  \end{array}


  (in coordinate omogenee)

 

Classificazione delle coniche sul determinante delle matrici

 

1) Se det(A)= 0 la conica è degenere. In particolare:

 

1.1) se il rango della matrice A è pari a 2 la conica si spezza in due rette e si dice conica semplicemente degenere

 

1.2) se rank(A)=1 la conica equivale a due rette coincidenti e si dice doppiamente degenere

 

 

2) Se risulta det(A)\neq 0 la conica è non degenere. In partcolare:

 

2.1) se det(B)=0 (ovvero B ha un autovalore nullo) ci troviamo di fronte ad una parabola.

 

 

2.2) Se det(B)>0 (ovvero B ha due autovalori concordi) abbiamo a che fare con un'ellisse.

 

2.2.1) Caso particolare dell'ellisse: circonferenza. Si ottiene quando a_{12}=0 e a_{11}=a_{22}.

 

 

2.3) Se det(B)<0 (cioè B ha due autovalori discordi) l'equazione data inizialmente rappresenta un'iperbole.

 

2.3.1) Caso particolare: Se a_{11}=-a_{22} si tratta di un'iperbole equilatera.

 

Dubbi? Dai un'occhiata ai seguenti esempi ;)

 

Esempi sulla classificazione delle coniche

 

Esempio 1: consideriamo la conica definita dall'equazione

 

x^2+3x+4y^2+4xy+6y-18=0

 

La matrice A dei coefficienti è:

 

A=\left[\begin{matrix}1 & 2 & \frac{3}{2}\\ 2 & 4 & 3\\ \frac{3}{2} & 3 & -18\end{matrix}\right]

 

il cui determinante è uguale a zero. Siamo quindi di fronte ad una conica degenere. Ancora, essendo il rango della matrice A pari a 2, abbiamo una conica semplicemente degenere.

 

Esempio 2: prendiamo la conica data da

 

x_1^2+2x_1x_2-15x_2^2+2x_1x_3-4x_2x_3+x_3^2=0

 

La sua matrice dei coefficienti è:

 

A=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\ 1 & -15 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{matrix}\right]

 

Essendo det(A) = -9 \neq 0, la conica è non degenere. Calcoliamo quindi:

 

det(B)=det\left[\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & -15 \end{matrix}\right]=-16{\color{Red} \ \textless 0}

 

Siamo quindi davanti ad un'iperbole.

 


 

 

Questo è tutto quello che serve sapere per quanto concerne la classificazione di una conica. Nel prossimo articolo ci addentreremo, invece, nello studio vero e proprio della sua equazione.

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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