Classificazione delle quadriche

Per concludere in bellezza le lezioni di Geometria dello Spazio parliamo di quadriche e vediamo come classificare le quadriche con le matrici e con il calcolo dei determinanti.

 

Come classificare le quadriche nello spazio tridimensionale

 

Ogni quadrica è rappresentata da un'equazione del tipo

 

a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+a_{44}+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z=0

 

La matrice associata alla quadrica è una matrice simmetrica data da

 

A=\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix}\right]

 

ed è da notare che tutti i coefficienti al di fuori della diagonale principale vanno dimezzati nel passaggio dall'equazione alla matrice. Si vede anche che c'è una precisa corrispondenza tra incognita del coefficiente e posizione nella matrice, che si ottiene intabellando i coefficienti come segue

 

\begin{array}{c | c c c c} & \mbox{x} & \mbox{y} & \mbox{z} & 1 \\ \cline{1-5} \mbox{x} & & \\ \mbox{y} & & \\ \mbox{z} & & \\ 1 & & \end{array}

 


Consideriamo un'ulteriore matrice, ottenuta eliminando i coefficienti dei monomi di grado inferiore al secondo (sostanzialmente eliminando la quarta riga e la quarta colonna) 

 

B=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right]

 

Per la classificazione di una qualsiasi quadrica è sufficiente conoscere il determinante della matrice A, quello di B e il segno degli autovalori di B. Con questi ingredienti possiamo trarre conclusioni riguardo alla natura della quadrica considerata.

 

 

Distinguiamo i vari casi ragionando sul determinante di A, poi considereremo i sottocasi distinti a seconda del determinante di B ed infine come sotto-sottocaso prenderemo in analisi i segni degli autovalori di B.

 

Nei casi in cui è possibile riporteremo una rappresentazione della quadrica e l'equazione nella forma canonica.

 

1) det(A)>0

 

 

1.1) det(B)\neq 0

 

 

1.1.1) Gli autovalori di B hanno tutti lo stesso segno: ELLISSOIDE IMMAGINARIO

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+1=0

 

 

1.1.2) Autovalori di B con segni diversi: IPERBOLOIDE IPERBOLICO.

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

 

Iperboloide iperbolico

 

 

1.2) det(B)=0: PARABOLOIDE IPERBOLICO

 

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-z=0

 

paraboloide-iperbolico

 

 

2) det(A)<0

 

 

2.1) det(B)\neq 0

 

 

2.1.1) Autovalori di B con lo stesso segno: ELLISSOIDE REALE

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

 

Ellissoide reale

 

 

2.1.2) Autovalori di B con segni diversi: IPERBOLOIDE ELLITTICO.

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1

 

Iperboloide ellittico

 

 

2.2) det(B)=0: PARABOLOIDE ELLITTICO

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z=0

 

Paraboloide ellittico

 

 

3) det(A)=0.

 

Qui dobbiamo distinguere in base allo specifico valore del rango delle matrici A e B.

 

 

3.A) Se rank(A)=3, rank(B)=3 e gli autovalori di B hanno tutti lo stesso segno: CONO IMMAGINARIO.

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0

 

 

3.B) Se rank(A)=3, rank(B)=3 e gli autovalori di B non hanno tutti lo stesso segno: CONO REALE.

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0

 

 

Cono reale

 

 

3.C) Se rank(A)=3, rank(B)=2 e gli autovalori non nulli di B hanno segni discordi: CILINDRO IPERBOLICO.

 

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

 

Cilindro iperbolico

 

 

3.D) Se rank(A)=3, rank(B)=2 e gli autovalori non nulli di B hanno segni concordi e gli autovalori non nulli di A hanno tutti lo stesso segno: CILINDRO IMMAGINARIO.

 

 

3.E) Se rank(A)=3, rank(B)=2 e gli autovalori non nulli di B hanno segni concordi e gli autovalori non nulli di A non hanno tutti lo stesso segno: CILINDRO ELLITTICO.

 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

 

Cilindro ellittico

 

 

3.F) Se rank(A)=3, rank(B)=1: CILINDRO PARABOLICO.

 

x^2+2ay

 

Cilindro parabolico

 

 

3.G) Se rank(A)=2, rank(B)=2 e gli autovalori non nulli di B sono concordi: PIANI INCIDENTI IMMAGINARI.

 

 

3.H) Se rank(A)=2, rank(B)=2 e gli autovalori non nulli di B sono discordi: PIANI INCIDENTI REALI.

 

 

3.I) Se rank(A)=2, rank(B)=1 e gli autovalori non nulli di A sono concordi: PIANI PARALLELI IMMAGINARI.

 

 

3.L) Se rank(A)=2, rank(B)=1 e gli autovalori non nulli di A sono discordi: PIANI PARALLELI REALI.

 

 

3.M) Se rank(A)=1: PIANI COINCIDENTI.

 

 


 

È tutto! :) Ricordate che qui su YM avete a disposizione tantissimi esercizi risolti per ogni argomento, e che potete trovare le risposte ai vostri dubbi con la barra di ricerca...Se non bastasse potrete sempre aprire una discussione nel Forum.

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino

 

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