Dalle equazioni cartesiane della retta alle parametriche

Nella risoluzione degli esercizi di Geometria dello Spazio potrebbe capitarci di dover passare dalle equazioni cartesiane di una retta alle equazioni parametriche. Lo scopo di questa lezione consiste nel fornire un metodo per effettuare il passaggio da una scrittura all'altra nel caso delle rette (nella lezione precedente abbiamo visto come effettuare il passaggio inverso).

 

Come passare dalle equazioni cartesiane alle parametriche nel caso della retta

 

Come al solito ci occupiamo del metodo in generale per poi applicarlo in alcuni esempi specifici.

 

Una retta in forma cartesiana è definita mediante due equazioni linearmente indipendenti, ed è individuata come intersezione di due piani (non paralleli)

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

Per passare dalla forma cartesiana alle tre equazioni parametriche che descrivono la retta dovremo attribuire ad una delle tre variabili x,y,z il ruolo di parametro. La scelta della variabile è del tutto arbitraria, dunque possiamo (e ci conviene) prenderla in modo che i successivi calcoli siano comodi.

 

L'unica restrizione che sussiste sulla variabile da scegliere è la seguente: essa non deve comparire in alcuna delle due equazioni nella forma \mbox{variabile}=\mbox{costante}, se ve ne sono.

 

Possiamo ad esempio porre z=t e considerare il sistema

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\\ z=t\end{cases}

 

Sostituiamo z=t nelle prime due equazioni: non dovremo fare altro che procedere per sostituzione, ricavando una delle due variabili (per noi x oppure y) in termini dell'altra.

 

Immaginiamo di voler esprimere y in termini di x, e per farlo usiamo la seconda equazione del sistema

 

\begin{cases}ax+by+ct+d=0\\ y=\frac{1}{b'}[-d'-c't-a'x]\\ z=t\end{cases}

 

Dovremo a questo punto sostituire l'espressione di y=y(x,t) nell'equazione rimanente e ricavare un'espressione per x dipendente solamente dal parametro t.

 

\begin{cases}x=\frac{1}{a}[-d-ct-by]\\ y=\frac{1}{b'}[-d'-c't-a'x]\\ z=t\end{cases}

 

\begin{cases}x=\frac{1}{a}\left[-d-ct-b\frac{1}{b'}\left(-d'-c't-a'x\right)\right]\\ y=\frac{1}{b'}[-d'-c't-a'x]\\ z=t\end{cases}

 

Andando avanti con i passaggi nel caso generale otterremmo "espressioni scoraggianti", ma nella pratica abbiamo a che fare con numeri veri e propri e i conti sono semplici. Rimaneggiando la prima delle tre equazioni otterremo l'espressione cercata per x in termini del parametro t

 

\begin{cases}x=\frac{1}{a}\left[-d-ct-b\frac{1}{b'}\left(-d'-c't-a'x\right)\right]\Rightarrow \mbox{conticini}\Rightarrow x=x(t)\\ y=\frac{1}{b'}[-d'-c't-a'x]\\ z=t\end{cases}

 

Ci basterà ora sostituire x=x(t) nella seconda equazione in modo da ricavare un'espressione y=y(t) che dipende solamente dal parametro t. Ci siamo! Abbiamo ricavato le equazioni parametriche della retta

 

\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=t\end{cases}

 

Sei sconcertato? Surprised Un esempio renderà tutto più chiaro...

 

Esempio: dalle cartesiane alle parametriche nel caso generale

 

Prendiamo la retta di equazioni cartesiane

 

\begin{cases}x+y+z+1=0\\ -x+y-2z+1=0\end{cases}

 

Assegnamo a z il ruolo di parametro, dunque poniamo z=t

 

\begin{cases}x+y+z+1=0\\ -x+y-2z+1=0\\ z=t\end{cases}

 

Sostituiamone l'espressione nelle prime due equazioni

 

\begin{cases}x+y+t+1=0\\ -x+y-2t+1=0\\ z=t\end{cases}

 

Ora la scelta è arbitraria: decidiamo di usare la prima equazione per ricavare un'espressione per la variabile x

 

\begin{cases}x=-y-t-1\\ -x+y-2t+1=0\\ z=t\end{cases}

 

che poi sostituiamo nella seconda equazione

 

\begin{cases}x=-y-t-1\\ -(-y-t-1)+y-2t+1=0\\ z=t\end{cases}

 

da cui

 

\begin{cases}x=-y-t-1\\ +y+t+1+y-2t+1=0\\ z=t\end{cases}

 

\begin{cases}x=-y-t-1\\ 2y-t+2=0\\ z=t\end{cases}

 

Ricaviamo un'espressione per y che dipenda solamente dal parametro t

 

\begin{cases}x=-y-t-1\\ y=\frac{t}{2}-1\\ z=t\end{cases}

 

e sostituiamola nella prima equazione

 

\begin{cases}x=-\left(\frac{t}{2}-1\right)-t-1\\ y=\frac{t}{2}-1\\ z=t\end{cases}

 

da cui in definitiva

 

\begin{cases}x=-\frac{3}{2}t\\ y=\frac{t}{2}-1\\ z=t\end{cases}

 

Uhm: come possiamo essere certi che le equazioni parametriche appena scritte descrivano effettivamente la retta considerata? Possiamo ricorrere ad una semplicissima verifica: sostituendo le coordinate parametriche nelle equazioni cartesiane della retta dobbiamo giungere a due equazioni indeterminate. In caso contrario sarebbe il caso di rivedere i calcoli...Wink

 

\mbox{Verifica}:\ \begin{cases}x=-\frac{3}{2}t\\ y=\frac{t}{2}-1\\ z=t\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x+y+z+1=0\\ -x+y-2z+1=0\end{cases}

 

Procediamo con le sostituzioni

 

\begin{cases}-\frac{3}{2}t+\frac{t}{2}-1+t+1=0\\ +\frac{3}{2}t+\frac{t}{2}-1-2t+1=0\end{cases}

 

da cui

 

\begin{cases}0=0\\ 0=0\end{cases}

 

Ok: entrambe le equazioni sono indeterminate. I conti tornano!

 

 

Attenzione ai casi particolari!

 

I casi particolari si presentano quando nella rappresentazione cartesiana della retta una delle due equazioni, o entrambe, sono del tipo \mbox{variabile}=\mbox{costante}. D'altra parte lo avevamo già anticipato in precedenza...

 

 

1) Se solo una delle due equazioni è della forma \mbox{variabile}=\mbox{costante}, ad esempio

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ y=\mbox{costante}\end{cases}

 

Possiamo procedere in un modo analogo a quello indicato in precedenza, ma dovremo assegnare il ruolo di parametro ad una delle due variabili che non è uguale alla costante. Nell'esempio potremo porre x=t oppure z=t, ma NON y=t.

 

 

2) Se entrambe le equazioni sono del tipo \mbox{variabile}=\mbox{costante}, ad esempio

 

\begin{cases}x=\mbox{costante}_1\\ z=\mbox{costante}_2\end{cases}

 

dovremo necessariamente attribuire il ruolo di parametro alla variabile che non compare nelle due equazioni

 

\begin{cases}x=\mbox{costante}_1\\ y=t \\z=\mbox{costante}_2\end{cases}

 

e avremo già finito, perché quella appena scritta è una rappresentazione parametrica della retta.

 

 

Esempi sui casi particolari

 

1) Prendiamo la retta definita da

 

\begin{cases}x+2y+3z+4=0\\ x=1\end{cases}

 

e decidiamo di porre y=t, per cui passiamo a

 

\begin{cases}x+2t+3z+4=0\\ x=1\\ y=t\end{cases}

 

A proposito di banalità: dato che x=1 e che si tratta di un sistema, sostituiamone il valore nella prima equazione

 

\begin{cases}1+2t+3z+4=0\\ x=1\\ y=t\end{cases}

 

Dalla prima ricaviamo

 

\begin{cases}z=-\frac{2}{3}t-\frac{5}{3}\\ x=1\\ y=t\end{cases}

 

riordiniamo il tutto e siamo arrivati!

 

\begin{cases}x=1\\ y=t\\ z=-\frac{2}{3}t-\frac{5}{3}\end{cases}

 

 

2) Dai, ma serve davvero un esempio?Pazzesco... Laughing

 

 


 

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Vale, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (a.k.a. Ω)

 

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