Dimensione e base di nucleo e immagine

Nell'analisi e nello studio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali la ricerca della dimensione e di una base del nucleo e dell'immagine riveste un ruolo chiave, perché ci fornisce la quasi totalità delle informazioni che riguardano l'applicazione lineare considerata.

 

Questa lezione ha un intento di natura pratica, ed intende fornire un metodo di risoluzione degli esercizi che si incontrano nei corsi di Algebra Lineare.

 

Cominciamo! :) Consideriamo un'applicazione lineare F:V\to W con V,W spazi vettoriali sul medesimo campo \mathbb{K}. Per chi non avesse idea di cosa siano il nucleo e l'immagine di un'applicazione lineare, consigliamo la lettura delle due lezioni dei link.

 

Come trovare dimensione e una base del nucleo

 

Richiamando brevemente la definizione di nucleo, sappiamo che è il sottospazio vettoriale dei vettori v\in V del dominio di F per i quali risulta

 

F(v)=\underline{0}\ (*)

 

Determiniamo innanzitutto la matrice associata ad F rispetto a delle assegnate basi di V,W, e chiamiamola A_F (nel caso di spazi vettoriali del tipo \mathbb{R}^n potremo fare riferimento alla base canonica). Prendiamo poi un generico vettore v\in V e scriviamolo in coordinate rispetto alla base scelta per v

 

v=[x_1,...,x_n].

 

La condizione (*) ha una precisa corrispondenza algebrica: in riferimento alla matrice associata ad F, essa corrisponde in termini matriciali al sistema lineare omogeneo

 

A_F v=\underline{0}

 

che si scrive in forma esplicita come

 

\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{matrix}\right]

 

Da notare che abbiamo supposto che W abbia dimensione m, infatti la matrice di F ha m righe (=dimensione del codominio) ed n colonne (=dimensione del dominio).

 

Ci siamo: con questa interpretazione determinare la dimensione e una base per il nucleo equivale a trovare dimensione e base per il sottospazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo appena scritto. Se state leggendo questa lezione dovreste saperlo fare, ma se così non fosse niente paura, ce ne occupiamo in una lezione a parte. Wink

 

Come trovare dimensione e una base dell'immagine

 

Dopo aver chiarito la questione inerente il nucleo passiamo al metodo per determinare una base dell'immagine. Anche qui ne ricordiamo brevemente la definizione:

 

Im(F)=\{F(v)\mbox{ al variare di }v\in V\}\subseteq W

 

Nella lezione sull'immagine abbiamo visto che l'immagine di un'applicazione lineare coincide con il sottospazio generato dalle colonne della matrice rappresentativa - non importa rispetto a quali basi essa sia riferita. Per questo motivo le colonne di A_F

 

\left[\begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1}\end{matrix}\right]\ ,\ \left[\begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2}\end{matrix}\right]\ ,\ \dots\ ,\ \left[\begin{matrix}a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn}\end{matrix}\right]

 

costituiscono un sistema di generatori di Im(F). Siamo a cavallo! Ci basta sapere come estrarre una base da un sistema di generatori di un sottospazio vettoriale, e anche qui vale un'osservazione analoga alla precedente. Se vi trovate di fronte agli esercizi su nucleo e immagine, è un'operazione che dovreste essere in grado di svolgere. Se così non fosse la lettura della lezione del link dipanerà ogni vostro dubbio. Wink

 

Relazione tra le dimensioni di nucleo e immagine

 

Vale la pena di ricordare un fatto fondamentale, che calza a pennello nella risoluzione della suddetta tipologia di esercizi. Il nucleo e l'immagine di un'applicazione lineare hanno delle dimensioni che sono vincolate l'una all'altra da un teorema basilare dell'Algebra Lineare: il teorema delle dimensioni, o teorema della nullità più rango.

 

Il teorema delle dimensioni asserisce che, dato un omomorfismo F:V\to W, la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine coincide con la dimensione del dominio V. In una formula

 

dim(V)=dim(Ker(F))+dim(Im(F))

 

(per la dimostrazione - click!) Di conseguenza se abbiamo già calcolato una tra le dimensioni di Ker(F) e di Im(F) conosciamo automaticamente l'altra. Come potrete immaginare si tratta di una potentissima relazione che ci permetterà di verificare i risultati ottenuti; in particolare, nel caso in cui l'esercizio non richiedesse di determinare una base ma solo la dimensione del nucleo e dell'immagine, di dimezzare i nostri sforzi.

 

Osservazione (Nullità più rango e endomorfismi)

 

Nel caso in cui F sia un endomorfismo, cioè uno omomorfismo del dominio in sé

 

F:V\to V

 

Il teorema della nullità più rango si caratterizza in modo significativo: se infatti dim(Ker(F))=0, cioè se F è iniettiva, ne segue che dim(Im(F))=dim(V), e dato che V oltre ad essere il dominio è anche il codominio di F ne deduciamo che F è anche suriettiva. In parole povere, un endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo.

 

Esempi su dimensione e base di nucleo e immagine

 

1) Prendiamo l'omomorfismo definito da F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4 definito da

 

F(x,y,z)=[y+z,3x+y,x+y+z,2z]

 

e calcoliamo la dimensione del nucleo e dell'immagine, per poi determinare una base per entrambi. Prima di tutto scriviamo la matrice associata ad F

 

A_F\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1\\ 3 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]

 

Consideriamo l'insieme dei vettori colonna di A_F, che costituisce un sistema di generatori per l'immagine: \{[0,3,1,0],[1,1,1,0],[1,0,1,2]\}.

 

Il rango della matrice è pari a 3, dunque dim(Im(f))=3. Per vederlo ci basta considerare il minore di ordine 3 costituito dalle prime tre righe e dalle tre colonne della matrice rappresentativa. Tale minore ha determinante non nullo, dunque tutti e tre i vettori colonna costituiscono una base di Im(F), infatti formano un sistema di generatori di Im(F) e sono linearmente indipendenti tra loro.

 

Passiamo al nucleo. Il teorema della nullità più rango ci garantisce che dim(Ker(F))=0, infatti

 

dim(Ker(F))=dim(V)-dim(Im(F))=3-3=0

 

quindi Ker(F) ha dimensione nulla e non ha nemmeno senso cercarne una base.

 

 

2) Sia F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 definita come segue:

 

F[0,1,1]=[5,2,3]

 

F[2,0,0]=[2,2,0]

 

F[1,1,0]=[2,1,1]

 

Cominciamo col determinare la matrice rappresentativa A_F rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3. Qui omettiamo i calcoli, se non sai come procedere ti suggeriamo di leggere la lezione sulla matrice associata ad una applicazione lineare.

 

A_F=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 4\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2\end{matrix}\right].

 

In questo esempio consideriamo prima il nucleo di F, sicché risolviamo il sistema lineare omogeneo associato ad A_F con lo scopo di determinare una base per il nucleo Ker(F).

 

\left[\begin{matrix}1 & 1 & 4\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x \\ y \\ z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right]\Rightarrow \begin{cases}x+y+4z=0\\ x+2z=0\\ y+2z=0\end{cases}

 

Ricaviamo x,y rispettivamente dalle ultime due equazioni e sostituiamone le espressioni nella prima. Con dei semplici calcoli otteniamo

 

\begin{cases}x=-2z\\ y=-2z\\ 0=0\end{cases}

 

Abbiamo un sistema con un'equazione indeterminata, di conseguenza possiamo attribuire alla corrispondente variabile il ruolo di parametro libero: z=a\in\mathbb{R}. Scriviamo la generica soluzione del sistema lineare ed esprimiamola in forma di combinazione lineare

 

\left[\begin{matrix} x \\ y \\ z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-2a \\ -2a \\ a \end{matrix}\right]=a\left[\begin{matrix}-2 \\ -2 \\ 1\end{matrix}\right]

 

Abbiamo trovato una base di Ker(F), \{[-2,-2,1]\}, e conseguentemente la sua dimensione: dim(Ker(F))=1. Per nullità più rango calcoliamo subito la dimensione dell'immagine

 

dim(Im(F))=dim(V)-dim(Ker(F))=3-1=2

 

e dalle colonne di A_F abbiamo un sistema di generatori per l'immagine, da cui dobbiamo estrarre due vettori linearmente indipendenti per ricavarne una base. Con il criterio dei minori troviamo ad esempio \{[1,1,0],[1,0,1]\}. Fine! Tongue

 

 


 

Se dovessi avere dubbi, o se volessi vedere tantissimi altri esercizi risolti e spiegati, puoi cercare le risposte alle tue domande tra le migliaia di problemi e di risposte date dallo Staff. E se i dubbi dovessero persistere, potrai sempre aprire una discussione nel Forum!

 

Arigatò, see you soon guys!

Agente Ω

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: dimensione e base di nucleo e immagine di un'applicazione lineare - dimensione e base del nucleo  - dimensione e base dell'immagine.