Applicazioni lineari tra spazi di matrici

Abbiamo visto qual è la definizione di applicazione lineare tra spazi vettoriali, e siamo ben consci del fatto che in generale nella risoluzione degli esercizi abbiamo a che fare con applicazioni tra spazi vettoriali del tipo Rn. Ma come ci si comporta nei casi in cui le applicazioni lineari siano definite tra spazi di matrici?

 

Non importa che ci sia di mezzo uno spazio di matrici come dominio, codominio o entrambi; in questa lezione mostreremo come ricondurre lo studio di applicazioni lineari tra spazi matriciali Mat(m,n,\mathbb{K}) al classico caso di applicazioni lineari tra spazi del tipo \mathbb{R}^k.

 

 

Supponiamo di avere un'applicazione lineare F:V\to W dove solo uno, o entrambi, tra V,W è uno spazio di matrici del tipo Mat(m,n,\mathbb{K}). Per semplicità considereremo coefficienti in campo reale, dunque \mathbb{K}=\mathbb{R}, cosicché Mat(m,n,\mathbb{R}) indica lo spazio delle matrici di m righe ed n colonne a coefficienti reali.

 

Il metodo che stiamo per introdurre si applica ragionando singolarmente su uno tra dominio e codominio, e prevede di considerare un particolare isomorfismo tra lo spazio vettoriale Mat(m,n,\mathbb{R}) e lo spazio \mathbb{R}^{m\times n}. Tale isomorfismo ci permette di identificare lo spazio di matrici con uno spazio vettoriale standard, ed è definito come

 

Mat(m,n,\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^{m\times n}

 

\varphi_{m,n}:\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{matrix}\right]\to \left[\begin{matrix}a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n}\\ a_{21} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{m1} \\ a_{m2} \\ \vdots \\ a_{mn}\end{matrix}\right]\ (*)

 

Facendo riferimento al precedente isomorfismo (detto talvolta isomorfismo canonico) potremo sostituire a tutti gli effetti Mat(m,n,\mathbb{R}) con \mathbb{R}^{m\times n} e passare a lavorare con spazi vettoriali standard, con i quali non dovremmo avere alcun tipo di problema. Se ne avessimo...ci basterebbe leggere le precedenti lezioni di YM! Wink

 

I casi possibili sono tre:

 

 

1) abbiamo un'applicazione F:Mat(m,n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{k}, con uno spazio di matrici come dominio. Usiamo l'isomorfismo \varphi_{m,n} per passare a lavorare tra spazi di vettori standard, e dunque a considerare un'applicazione lineare del tipo

 

\tilde{F}:\mathbb{R}^{m\times n}\to \mathbb{R}^{k}

 

Per farlo basterà comporre F con l'isomorfismo \varphi_{m,n} come segue

 

\tilde{F}=F\circ \varphi_{m,n}^{-1}:\mathbb{R}^{m\times n}\to Mat(m,n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}^n

 

dove \varphi_{m,n}^{-1}:\mathbb{R}^{m\times n}\to Mat(m,n,\mathbb{R}) è l'inverso di \varphi_{m,n} (prendete la definizione (*) e invertite il verso della freccia).

 

 

2) Applicazioni del tipo F:\mathbb{R}^k\to Mat(m,n,\mathbb{R}), dove lo spazio di matrici è il codominio. In questo caso la logica è simile a quella di 1), infatti per passare ad un'applicazione del tipo

 

\tilde{F}:\mathbb{R}^k\to \mathbb{R}^{m\times n}

 

dobbiamo considerare la composizione

 

\tilde{F}=\varphi_{m,n}\circ F:\mathbb{R}^{k}\to Mat(m,n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{m\times n}

 

 

3) Caso generale: applicazioni lineari del tipo F:Mat(m,n,\mathbb{R})\to Mat(p,q,\mathbb{R}), con dominio e codominio spazi di matrici. Vogliamo ricondurre F ad un'applicazione della forma \tilde{F}:\mathbb{R}^{m\times n}\to \mathbb{R}^{p\times q}, e ormai abbiamo capito come fare. Wink Componiamo F con due opportuni isomorfismi

 

\tilde{F}=\varphi_{p,q}\circ F\circ \varphi_{m,n}^{-1}

 

dove \varphi_{m,n}^{-1}:\mathbb{R}^{m\times n}\to Mat(m,n,\mathbb{R})\ e \ \varphi_{p,q}:Mat(p,q,\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{p\times q}.

 

 


 

 

Il discorso potrebbe suonare molto complicato, ma non lo è affatto né dal punto di vista teorico, né in termini pratici. A livello teorico è sufficiente ragionare con una semplice analogia: gli spazi vettoriali di matrici sono stazioni e supponiamo che ad ogni stazione corrisponda una ed una sola città. Gli spazi vettoriali standard sono i centri di tali città. Un isomorfismo \varphi permette il passaggio dalla stazione di una città al centro della città, mentre l'inverso \varphi^{-1} permette di passare dal centro alla stazione.

 

Come facciamo a determinare il tragitto da centro a centro di due città, se abbiamo solo il treno che passa dall'una all'altra città? Prima andiamo dal centro della prima alla sua stazione, poi prendiamo il treno, ed infine andiamo dalla seconda stazione al secondo centro. Provate ad interpretare la faccenda in quest'ottica. Wink

 

Esempio

 

E nella pratica come dobbiamo comportarci?...Il bello viene alla fine, come il dolce...Le considerazioni teoriche esposte in precedenza trovano un riscontro immediato nella risoluzione degli esercizi. Prendiamo ad esempio l'applicazione lineare F:\mathbb{R}^3\to Mat(2,2,\mathbb{R}), definita da

 

F:\left[\begin{matrix}x \\ y\\ z\end{matrix}\right]\to \left[\begin{matrix}y & x+2y\\ 3x-y & x+z\end{matrix}\right].

 

Vogliamo determinarne la matrice associata rispetto alle basi canoniche di \mathbb{R}^3 e di Mat(2,2,\mathbb{R}), nucleo ed infine l'immagine.

 

GulpSurprised Come possiamo fare? Dobbiamo solamente passare alla corrispondente applicazione lineare tra spazi di vettori standard

 

\tilde{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^{2\times 2}\simeq \mathbb{R}^4

 

che individuiamo molto comodamente:

 

\tilde{F}:\left[\begin{matrix}x \\ y\\ z\end{matrix}\right]\to \left[\begin{matrix}y \\ x+2y\\ 3x-y \\ x+z\end{matrix}\right].

 

Basta, abbiamo finito! Abbiamo ricondotto l'esercizio ad un normalissimo esercizio con un'applicazione lineare tra spazi vettoriali standard, e da qui in poi procederemo con i metodi di risoluzione classici. Potremo ad esempio considerare la matrice associata ad \tilde{F} rispetto alle basi canoniche, che rappresenta conseguentemente anche F

 

A_{F}=A_{\tilde{F}}=\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0\\ 3 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right].

 

 


 

Se volete vedere tantissimi altri esempi ed esercizi interamente svolti, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca di YM. Abbiamo spiegato le risoluzioni di migliaia e migliaia di esercizi...Wink...e se ancora non bastasse, potrete sempre aprire una discussione nel Forum!

 

հրաժեշտ, see you soon guys!

Agente Ω

 

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