Formula del cambiamento di base per endomorfismi

Dopo aver visto come scrivere la matrice che esprime il cambiamento di base da una base ad un'altra, in uno spazio vettoriale V, vogliamo fare un ulteriore passaggio e introdurre la formula che permette di scrivere la matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una nuova base. Il punto di partenza sarà naturalmente dato dalle due basi considerate su V e dalla matrice rappresentativa dell'endomorfismo rispetto ad una delle due basi.

 

Ciò che ci preme è che alla fine di questa lezione sia chiara la logica che regola la formula del cambiamento di base, perché una volta acquisita sarà un gioco da ragazzi applicarla e adattarla in qualsiasi caso specifico. L'idea principe che permette di capirne il funzionamento riguarda il rapporto tra la composizione di endomorfismi e il prodotto tra matrici associate.

 

Matrice rappresentativa per la composizione di applicazioni lineari

 

Consideriamo due applicazioni lineari F:V\to W e G:W\to U.

 

La composizione G\circ F è un'applicazione che manda da V\to U (infatti passiamo per V\to W\to U), e se disponiamo di due matrici rappresentative A_F e A_G riferite alle basi B_V,B_W,B_U rispettivamente di V,W,U, possiamo ottenere la matrice che rappresenta G\circ F rispetto alle basi B_V,B_U mediante il prodotto tra le matrici rappresentative

 

G\circ F è rappresentata dalla matrice A_GA_F

 

Da notare che in entrambe le scritture l'ordine è esattamente l'opposto rispetto a quello di applicazione delle due applicazioni. Prima si applica F e poi G, ma prima si scrive G e poi F: questo perché le composizioni si leggono da destra verso sinistra.

 

La premessa è conclusa e tra poco sarà chiaro il motivo per cui l'abbiamo proposta. Wink

 

Formula del cambiamento di base

 

Supponiamo di avere un endomorfismo F:V\to V di uno spazio vettoriale su un campo \mathbb{K}. Prendiamo due basi B,B' di V e immaginiamo di disporre della matrice associata a F rispetto alla base B. Chiamiamola A_{B}.

 

Scopo del gioco: individuare la matrice A_{F}^{B'} che rappresenta l'endomorfismo F rispetto alla base B'.

 

Se indichiamo con M_{B'}^{B} la matrice di cambiamento di base da B a B' (nella notazione si passa dall'alto al basso) e con M_{B}^{B'} la matrice che esprime il passaggio dalla base B' a B, la formula di cambiamento di base per la matrice dell'endomorfismo è data da

 

A_{B'}=M_{B'}^{B}A_{B}M_{B}^{B'}.

 

Cerchiamo di capirne la logica. La matrice di passaggio da una base B di uno spazio vettoriale V ad un'altra B' si può intendere come un isomorfismo V\to V, dunque come un'applicazione lineare biunivoca dello spazio in sé.

 

A_B e A_{B'} rappresentano lo stesso endomorfismo, cioè F, rispetto a basi diverse. La prima lavora sullo spazio vettoriale V con base B e arriva nello spazio vettoriale V con base B; la seconda parte da V con base B' e arriva in V con base B'.

 

Riprendiamo la formula del cambiamento di base e ragioniamo da destra verso sinistra, perché tale è la logica del prodotto tra matrici. Dato che vogliamo scrivere A_{B'}, il nostro punto di partenza è V con base B'

 

\overbrace{V}^{B'}\to ...

 

La matrice M_{B}^{B'} ci manda da V con base B' a V con base B

 

\overbrace{V}^{B'}\to \overbrace{V}^{B}\to ...

 

poi abbiamo la matrice A_B, che parte da V con base B e arriva in V con base B

 

\overbrace{V}^{B'}\to \overbrace{V}^{B}\to \overbrace{V}^{B}

 

infine c'è M_{B'}^{B} che parte da V con base B e arriva in V con base B'

 

\overbrace{V}^{B'}\to \overbrace{V}^{B}\to \overbrace{V}^{B}\to \overbrace{V}^{B'}

 

In sintesi

 

\overbrace{V}^{B'}\overbrace{\to}^{M_{B}^{B'}} \overbrace{V}^{B}\overbrace{\to}^{A_B} \overbrace{V}^{B}\overbrace{\to}^{M_{B'}^B} \overbrace{V}^{B'}

 

e ogni freccia è realizzata da una delle matrici del prodotto M_{B'}^{B}A_{B}M_{B}^{B'} letto da destra verso sinistra. Funziona tutto, perché il risultato del prodotto è A_{B'} che manda da V con base B' a V con base B', che poi sono proprio gli estremi della catena di frecce appena vista.

 

Se volessimo ricavare la formula inversa, cioè quella per passare dalla matrice associata a F rispetto a B' alla matrice rappresentativa di F rispetto a B, ci basterebbe invertire la precedente relazione. Possiamo tranquillamente moltiplicare la formula del cambiamento di base per le inverse di M_{B'}^{B} e M_{B}^{B'}, e tenere conto del fatto che (M_{B'}^{B})^{-1}=M_{B}^{B'} e (M_{B}^{B'})^{-1}=M_{B'}^{B}

 

A_{B'}=M_{B'}^{B}A_{B}M_{B}^{B'}

 

(M_{B'}^{B})^{-1}A_{B'}=(M_{B'}^{B})^{-1}M_{B'}^{B}A_{B}M_{B}^{B'}

 

(M_{B'}^{B})^{-1}A_{B'}=A_{B}M_{B}^{B'}

 

(M_{B'}^{B})^{-1}A_{B'}(M_{B}^{B'})^{-1}=A_{B}M_{B}^{B'}(M_{B}^{B'})^{-1}

 

(M_{B'}^{B})^{-1}A_{B'}(M_{B}^{B'})^{-1}=A_{B}

 

Ossia

 

A_B=M_{B}^{B'}A_{B'}M_{B'}^{B}

 

provate a leggere anche questa formula secondo la precedente interpretazione...Wink

 

Esempio di applicazione della formula del cambiamento di base

 

Consideriamo l'endomorfismo F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 definito da F(x,y,z)=[2x-y+z,3z,x+y]. Vogliamo trovare la matrice che rappresenta F rispetto alla base di \mathbb{R}^3 data da B'=\{[1,1,0],[0,1,1],[1,1,1]\}.

 

Svolgimento: per prima cosa scriviamo la matrice A_B che rappresenta F rispetto alla base canonica B di \mathbb{R}^3 (e se non sai come fare, ti spieghiamo tutto qui: come scrivere la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare).

 

A_B=\left[\begin{matrix}2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]

 

La relazione che ci fornisce A_{B'} è A_{B'}=M_{B'}^{B}A_BM_{B}^{B'}. Dalla teoria sulle matrici di passaggio sappiamo che la matrice che esprime il passaggio dalla base B' alla base canonica B si ottiene disponendo per colonna i vettori di B' (le cui coordinate sono implicitamente riferite a B)

 

M_{B}^{B'}=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]

 

Per ricavare M_{B'}^{B} ci basta calcolare la matrice inversa della precedente matrice

 

M_{B'}^{B}=(M_{B}^{B'})^{-1}=\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1\end{matrix}\right]

 

Ci siamo! Possiamo ricavare A_{B'} calcolando il prodotto

 

A_{B'}=\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]

 

A voi la gioia e l'onore dei calcoli...Cool

 

 


 

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Lamtumirë, see you soon guys!

Agente Ω

 

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