Applicazione lineare definita da una matrice

Proseguiamo nello studio delle applicazioni lineari, e in particolare della relazione che intercorre tra matrici e applicazioni lineari.

 

Dopo aver visto che ogni applicazione lineare definisce una matrice, detta matrice associata, ci occupiamo della relazione inversa. Vogliamo in particolare far vedere che ogni matrice di m righe ed n colonne a coefficienti reali individua un'unica applicazione lineare \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m.

 

Applicazione lineare definita mediante una matrice

 

Prendiamo una matrice A\in\mathbb{R}^{m\times n}, vale a dire una matrice di m righe ed n colonne a coefficienti reali. Tenendo a mente la definizione di prodotto matrice-vettore (prodotto riga per colonna) è possibile definire in modo molto intuitivo una applicazione lineare L_A a partire da A

 

L_A:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m.

 

Tale omomorfismo si costruisce nel modo seguente: dato un vettore \underline{x}\in\mathbb{R}^n definiamo l'immagine del vettore \underline{x} mediante l'applicazione lineare L_A come il vettore dato dal prodotto matrice-vettore tra A e \underline{x}

 

L_A(\underline{x}):=A\underline{x}

 

(il simbolo := indica che si tratta di una definizione, dunque niente paura!). In altri termini l'applicazione lineare L_A definita dalla matrice A associa ad ogni vettore \underline{x} di \mathbb{R}^n il vettore A\underline{x}\in\mathbb{R}^{m}.

 

Se scriviamo i coefficienti di A per esteso

 

A=\left[\begin{matrix}a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{matrix}\right]

 

allora è immediato scrivere la generica immagine del vettore \underline{x}\in\mathbb{R}^n mediante L_A

 

L_A(\underline{x}):=A\underline{x}=\left[\begin{matrix}a_{11}& a_{12}&\dots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}&\dots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\dots& a_{mn}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+ a_{m2}x_2+\dots + a_{mn}x_n\end{matrix}\right]

 

 

Osservazione (attenzione al dominio e al codominio dell'applicazione lineare definita dalla matrice!)

 

Dato che A è una matrice m\times n, e dato che L_A è definita mediante il prodotto matrice vettore, i vettori del dominio devono avere un numero di componenti pari al numero di colonne della matrice; poiché il prodotto matrice-vettore è un vettore avente tante componenti quante sono le righe della matrice, il codominio dell'applicazione lineare deve avere dimensione pari al numero di righe della matrice.

 

 


 

 

Un altro importante fatto riguarda la correlazione tra matrice associata ad un'applicazione lineare e applicazione lineare definita da una matrice: la definizione scritta poco sopra rappresenta infatti l'esatto inverso logico della matrice rappresentativa.

 

In buona sostanza se prendiamo un omomorfismo F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m e ne scriviamo la matrice rappresentativa (rispetto a una base di \mathbb{R}^n e ad una base di \mathbb{R}^m) A_{F}, allora l'applicazione lineare definita dalla matrice A_F è proprio L_{A_F}=F.

 

Esempio di applicazione lineare definita da una matrice

 

Se volessimo individuare l'applicazione lineare individuata dalla matrice A\in Mat(3,2,\mathbb{R}) di 3 righe e 2 colonne, a coefficienti reali, data da

 

A=\left[\begin{matrix}1& 2\\ 4 & 5\\ 7 & 8\end{matrix}\right]

 

Ci basterebbe considerare il generico vettore [x_1,x_2]\in\mathbb{R}^2 (la dimensione del dominio è pari al numero di colonne di A) e calcolare il prodotto matrice vettore

 

A\underline{x}=\left[\begin{matrix}1& 2\\ 4 & 5\\ 7 & 8\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\ x_2\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x_1+2x_2\\ 4x_1+5x_2\\ 7x_1+8x_2\end{matrix}\right]

 

Avremo così l'omomorfismo L_A definito dalla matrice A

 

L_A:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3

 

L(x_1,x_2)=(x_1+2x_2,4x_1+5x_2,7x_1+8x_2)

 

 


 

 

Prima di concludere vediamo un'ultimissima osservazione inerente la linearità della funzione L_A:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m. È evidente che essa soddisfa la condizione di linearità, è ciò è dovuto al fatto che L_A(\underline{x}):=A\underline{x} è definita mediante il prodotto matrice-vettore, che è un'operazione lineare. Infatti

 

1) (somma) dati \underline{x},\underline{y}\in\mathbb{R}^n risulta che

 

L_{A}(\underline{x}+\underline{y})=A(\underline{x}+\underline{y})=A\underline{x}+A\underline{y}=L_{A}(\underline{x})+L_A(\underline{y})

 

2) (prodotto per uno scalare) dati \underline{x}\in\mathbb{R}^n e c\in\mathbb{R} abbiamo

 

L_A(c\underline{x})=A(c\underline{x})=cA(\underline{x})=cL_A(\underline{x})

 

 


 

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Beannacht, see you soon guys!

Agente Ω

 

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