Applicazioni lineari tra spazi di polinomi

Tra tutti i possibili tipi di spazi vettoriali che si possono incontrare nello studio e nella risoluzione di esercizi di Algebra Lineare, un tipo ricorrente è dato dagli spazi vettoriali di polinomi. In questo articolo vedremo come comportarci con le applicazioni lineari tra spazi di polinomi; considereremo polinomi a coefficienti reali, e vedremo come ricondurre le applicazioni lineari date ad applicazioni su spazi standard del tipo \mathbb{R}^n.

 

Innanzitutto occupiamoci delle notazioni: indicheremo con \mathbb{R}_{n}[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più n, cioè polinomi della forma

 

p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0

 

In modo del tutto simile a quanto abbiamo visto nella lezione sulle applicazioni lineari tra spazi di matrici, indipendentemente che il dominio, il codominio o entrambi siano spazi di polinomi, l'idea è quella di sfruttare un opportuno isomorfismo tra \mathbb{R}_n[x] e uno spazio del tipo \mathbb{R}^m.

 

Come risolvere gli esercizi con applicazioni lineari tra spazi di polinomi

 

In particolare, l'isomorfismo cui dovremo appellarci è dato da

 

\varphi_n:\mathbb{R}_n[x]\to \mathbb{R}^{n+1}

 

che associa al generico polinomio p(x)=a_nx^n+a_1x+a_0 il vettore v\in\mathbb{R}^{n+1} dato da [a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0]

 

\varphi_n:a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\to \left[\begin{matrix}a_n\\ a_{n-1}\\ \vdots \\ a_1\\ a_0\end{matrix}\right]

 

Se non lo hai già fatto, ti consigliamo vivamente di leggere la lezione precedente (quella che si occupa delle applicazioni lineari tra spazi di matrici). Come già accennato, come nel caso delle matrici, anche per i polinomi il passaggio a spazi di vettori più familiari è del tutto immediato. Se, ad esempio, avessimo a che fare con un omomorfismo

 

F:\mathbb{R}_n[x]\to \mathbb{R}_m[x]

 

potremmo fare ricorso all'isomorfismo \varphi per passare a lavorare con un'applicazione lineare

 

\tilde{F}:\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}^{m+1}

 

A questo punto potremo esaudire tutte le richieste dell'esercizio relativamente all'applicazione lineare \tilde{F}. Ad esempio potremo determinare la matrice associata a \tilde{F}, e dunque fornire una rappresentazione matriciale per l'applicazione F, e via discorrendo.

 

Potremo trovare dimensione e base del nucleo di \tilde{F} e dell'immagine. Da qui passare a F è un gioco da ragazzi, infatti basta applicare l'isomorfismo inverso

 

\varphi_{n}^{-1}:\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}_n[x]

 

E com'è definito? Basta ripercorrere la freccia nella definizione di \varphi al contrario. :)

 

Esempio di applicazione lineare tra spazi di matrici

 

Determinare dimensione e una base per il nucleo e per l'immagine di F:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_2[x], data dall'usuale derivazione di funzioni reali

 

F:P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\to p'(x)=3a_3x^2+2a_2x+a_1

 

Svolgimento: consideriamo gli isomorfismi \varphi_3:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}^4 e \varphi_2:\mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R}^3, e passiamo direttamente a lavorare con l'applicazione lineare

 

\tilde{F}:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3

 

definita da

 

\tilde{F}:\left[\begin{matrix}a_3\\ a_2\\ a_1\\ a_0\end{matrix}\right]\to\left[\begin{matrix}3a_3\\ 2a_2\\ a_1\end{matrix}\right]

 

A questo punto possiamo scrivere molto semplicemente l'applicazione lineare \tilde{F} sotto forma di matrice rispetto alle basi canoniche di \mathbb{R}^4 e di \mathbb{R}^3. Ciò equivale a fornire una rappresentazione di F rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_3[x], cioè \{x^3,x^2,x,1\}, e a quella di \mathbb{R}_2[x], che è \{x^2,x,1\}.

 

Abbiamo così la matrice associata a \tilde{F}:

 

A_{\tilde{F}}=\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]

 

(basta ragionare secondo la logica del prodotto riga per colonna, e se non sai come fare dai un'occhiata alla lezione dedicata al metodo per trovare la matrice associata ad un'applicazione lineare).

 

A questo punto esaudire le richieste dell'esercizio sarà una passeggiata di Domenica, e procedendo nel modo standard (dimensione e base di nucleo e immagine) vediamo subito che Im(\tilde{F}) ha dimensione 3 e che una sua base è data da

 

\left[\begin{matrix}3\\ 0\\ 0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}0\\ 2\\ 0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}0\\ 0\\ 1\end{matrix}\right]

 

dunque Im(F) ha dimensione 3 e, grazie all'isomorfismo inverso \varphi_{2}^{-1} ammette come base

 

\{3x^2,2x,1\}.

 

Di contro, Ker(\tilde{F}) ha dimensione 1 e una base data da \{[0,0,0,1]\}, cui corrisponde in \mathbb{R}_3[x] la base\{1\}.

 

 


 

Abbiamo finito! Wink Probabilmente starai pensando che l'argomento non è così semplice come promesso, e se è così...sbagli a sopravvalutarlo! È molto semplice, e se vuoi convincertene prova a dare un'occhiata alla miriade di esercizi che abbiamo risolto e spiegato qui su YM. Usa la barra di ricerca, e se ancora non bastasse apri pure una discussione nel Forum! :)

 

বিদায়, see you soon guys!

Agente Ω

 

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