Omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Nello studio delle applicazioni lineari (altrimenti dette omomorfismi) risulta particolarmente utile introdurre alcune caratterizzazioni che permettono di individuare velocemente il tipo di omomorfismo che si considera. In questa lezione vedremo quindi cosa di intende in Algebra Lineare con il termine omomorfismo per poi definire le principali classi di omomorfismo sulla base delle proprietà di iniettività, suriettività e biiettività.

 

Parleremo infine di un'ulteriore famiglia di omomorfismi, e in particolare di quelli definiti su uno spazio vettoriale e a valori nel medesimo spazio vettoriale: gli endomorfismi.

 

Definizione di Omomorfismo

 

Come abbiamo anticipato all'inizio, in Algebra Lineare il concetto di omomorfismo coincide con la nozione di applicazione lineare. Nello specifico, considerati due spazi vettoriali V \ \mbox{e} \ W definiti su un campo \mathbb{K} ed un'applicazione f:V\to W, essa si dice un omomorfismo tra gli spazi vettoriali V e W se gode delle proprietà di additività ed omogeneità, ovvero se:

 

1) Presi due qualsiasi elementi (vettori) v_1 e v_2 di V, l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini. In formule:

 

\forall \ v_1, v_2 \in V: \ f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2) \ \mbox{additivita}'

 

2) L'immagine del prodotto tra un qualsiasi elemento v dello spazio V ed un qualsiasi scalare \lambda del campo \mathbb{K} è uguale al prodotto tra lo scalare e l'immagine di v, ossia:

 

\forall \ v \in V \ \mbox{e} \ \forall \lambda \in \mathbb{K}: \ f(\lambda v)=\lambda f(v) \ \mbox{omogeneita}'

 

Tipi di omomorfismo: monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo

 

Sia F:V\to W un omomorfismo definito tra due spazi vettoriali V,W su un campo \mathbb{K}. Diamo le seguenti definizioni.

 

Monomorfismo

 

Diciamo che F:V\to W è un monomorfismo se è un omomorfismo iniettivo, cioè se ha il nucleo costituito dal solo vettore nullo: Ker(F)=\{\underline{0}\}.

 

Epimorfismo

 

Se invece F:V\to W è un omomorfismo suriettivo, cioè se ha l'immagine che coincide con il codominio, lo chiamaremo epimorfismo.

 

 

Isomorfismo

 

Nel caso in cui F:V\to W dovesse essere un omomorfismo biiettivo, cioè se F è sia un monomorfismo che un epimorfismo, lo chiameremo brevemente isomorfismo.

 

In merito agli isomorfismi vale un importantissimo teorema, che fornisce una condizione necessaria e sufficiente sulle dimensioni di due spazi vettoriali qualsiasi: due spazi vettoriali V,W hanno la stessa dimensione se e solo se sono isomorfi, cioè se esiste un qualsiasi isomorfismo F:V\to W. In tale eventualità scriveremo V\simeq W.

 

Endomorfismo

 

Un endomorfismo è un particolare tipo di applicazione lineare, che ricorre molto spesso nello studio dell'Algebra Lineare (e non sarà difficile capirne il motivo non appena ne avremo visto la definizione).

 

Un endomorfismo è semplicemente un omomorfismo di uno spazio vettoriale in sé, per il quale cioè dominio e codominio coincidono

 

F:V\to V

 

 

Esempio: una qualsiasi funzione lineare F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 non può essere un endomorfismo, mentre un qualsiasi omomorfismo F:\mathbb{R}^5\to \mathbb{R}^5 è un endomorfismo.

 

 

Gli endomorfismi godono di una proprietà fondamentale, che è diretta conseguenza del teorema della nullità più rango: un endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo. In altri termini, un endomorfismo è un epimorfismo se e solo se è un monomorfismo, o ancora un endomorfismo è un isomorfismo se e solo se è un monomorfismo oppure un epimorfismo.

 

Vale infine la pena di introdurre un ulteriore nome che caratterizza gli endomorfismi biiettivi, cioè gli endomorfismi F:V\to V che sono anche isomorfismi: in tal caso parleremo di automorfismi.

 

 


 

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