Definizione di applicazione lineare

In Algebra Lineare, nel 90% dei casi, ti troverai di fronte a dover fare letteralmente i conti con le applicazioni lineari.

 

Considera la lezione che stai per leggere come un articolo propedeutico: qui ti daremo la definizione di applicazione lineare e ti proporremo alcuni esempi, ma non farti prendere dall'angoscia! L'importante, qui e ora, è che tu inizi a farti un'idea di cosa caratterizza le applicazioni lineari e di cosa le contraddistingue da quelle non lineari.

 

Cos'è un'applicazione lineare?

 

Cominciamo: immaginiamo di avere due spazi vettoriali V,W, entrambi definiti su un campo \mathbb{K}, e supponiamo di avere un'applicazione o funzione

 

F:V\to W.

 

Un'applicazione tra spazi vettoriali si dice lineare se soddisfa tre semplicissime condizioni (in realtà due, anzi...una sola, ma andiamo con ordine):

 

1) (lo zero nello zero). F:\underline{0}\in V\to \underline{0}\in W, ossia F manda lo zero di V nello zero di W:

 

F(\underline{0})=\underline{0}

 

(\underline{0} indica il vettore nullo).

 

2) (Somma nella somma). Dati due vettori v_1,v_2\in V, l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini:

 

F(v_1+v_2)=F(v_1)+F(v_2)

 

3) (Prodotto per uno scalare nel prodotto per uno scalare). Dato v\in V e dato uno scalare (elemento del campo \mathbb{K}) \alpha\in \mathbb{K}, l'immagine del prodotto di v per lo scalare è uguale al prodotto dello scalare per l'immagine

 

F(\alpha v)=\alpha F(v)

 

Osservazione: in realtà possiamo inglobare la condizione 1) nella condizione 3), per essere più sintetici. Infatti se \forall \alpha \in\mathbb{K} risulta che

 

F(\alpha v)=\alpha F(v)

 

allora prendendo \alpha=0 abbiamo F(\underline{0})=0\cdot F(v)=\underline{0}, ossia F(\underline{0})=\underline{0}.

 

Condizione di linearità

 

Possiamo scrivere una definizione ancor più sintetica - dando per buono che tutto ciò di cui stiamo parlando abbia un senso, e ce l'ha eccome. Possiamo infatti riassumere le condizioni 1), 2), 3), o anche solo 2), 3) richiedendo che sia soddisfatta quella che chiameremo condizione di linearità:

 

per ogni \alpha,\beta\in\mathbb{K} e per ogni v_1,v_2\in V risulta che

 

F(\alpha v_1+\beta v_2)=\alpha F(v_1)+\beta F(v_2)

 

Esempi di applicazioni lineari

 

A) L'applicazione F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2  data da

 

F(x,y)=(x,3y)

 

è lineare, infatti soddisfa la condizione di linearità: prendiamo a,b\in\mathbb{R} e [x_1,y_1],[x_2,y_2]\in\mathbb{R}^2 abbiamo che

 

F(a[x_1,y_1]+b[x_2,y_2])=F([ax_1+bx_2,ay_1+by_2])=\mbox{ per definizione di }F=

 

=(ax_1+bx_2,3(ay_1+by_2))=(ax_1+bx_2,3ay_1+3by_2)=\mbox{ per def. di somma tra vettori}=

 

=(ax_1,3ay_1)+(bx_2,3by_2)=\mbox{per def. di prodotto di un vettore per uno scalare}=

 

=a(x_1,3y_1)+b(x_2,3y_2)=aF(x_1,y_1)+bF(x_2,y_2)

 

e l'applicazione è lineare: tutto qui! :)

 

 

B) L'applicazione F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, definita da

 

F(x)=4x

 

è lineare, infatti dati a,b\in\mathbb{R} e x_1,x_2\in\mathbb{R} abbiamo che

 

F(ax_1+bx_2)=4(ax_1+bx_2)=4ax_1+4bx_2=a(4x_1)+4(bx_2)=aF(x_1)+bF(x_2)

 

 

C) L'applicazione F data da F(x)=2x+5 non è lineare. Provare per credere!

 

 

D) Un altro esempio di applicazione non lineare è dato da F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 dove

 

F(x,y,z)=(x+y-z,3x-4y+1)

 

Come verificare se un'applicazione è lineare

 

In termini pratici, per verificare se una data applicazione è lineare oppure no, si tratta semplicemente di controllare se essa soddisfa la condizione di linearità. Gli esercizi sono spesso meccanici e richiedono di utilizzare delle operazioni coinvolte: somma di vettori, prodotto di vettori per uno scalare, somma di matrici, prodotto di matrici per uno scalare, somma di polinomi, prodotto di un polinomi per uno scalare...

 

Non è possibile stabilire a priori un how-to o una guida iperdettagliata su tutti i possibili passaggi algebrici. Sfortunatamente vi sono moltissimi tipi di spazi vettoriali e di applicazioni che si possono considerare, ma fortunatamente il procedimento da seguire è sempre lo stesso.

 

Passo 1: bisogna vedere se vale la condizione di linearità, quindi si parte da

 

F(av_1+bv_2)

 

Passo 2: si svolgono le varie operazioni algebriche, tenendo sempre ben presente dove si vuole arrivare...

 

Passo 3: si tentano eventuali raccoglimenti e riscritture che permettono di arrivare a

 

aF(v_1)+bF(v_2)

 

Cerchi esempi? Qui su YM ne puoi trovare a iosa, cercali con l'apposita barra. Wink

 

L'occhio clinico - riconoscere la linearità al volo

 

Dopo aver svolto un certo numero di esercizi, non dovremo continuare a fare conti su conti e a dimostrare, o confutare, la presupposta linearità di un'applicazione tra spazi vettoriali. Questo perché avremo sviluppato il cosidetto occhio clinico, o in termini meno metaforici saremo in grado di capire al volo se un'applicazione che ci viene data in pasto è lineare oppure no.

 

Il punto è che un'applicazione è lineare se...è lineare, cioè se si comporta bene rispetto alla somma di vettori e al prodotto di vettori rispetto ad uno scalare. È possibile, con un pizzico d'esperienza, capire subito dalla definizione se un'assegnata applicazione conserva la somma divettori e il prodotto per scalari.

 

Con un pochettino di pratica sarai in grado di guardare un elenco di applicazioni e dire subito se sono lineari o meno.

 

1) F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, F(x,y,z)=(x+2y,x+4z,y-3z) -> è lineare.

 

2) F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 definita dalla matrice

 

\left[\begin{matrix}2& 1\\ 3& 4\\ 1& 1\end{matrix}\right]

 

è lineare.

 

3) F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, F(x,y)=(x+1,3x-2y) -> NON è lineare.

 

4) F:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4, F(x,y,z,w)=(x+3y-z,x+w-4y,zw,x+y) -> NON è lineare.

 

5) F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definita in modo tale che

 

F:(0,1)\to (4,4)\mbox{ e }F:(2,0)\to (1,-3) -> è lineare.

 

La morale è che un'applicazione è lineare se è definita mediante operazioni lineari: somma di variabili al primo grado, senza che siano sommate costanti.

 

 


 

Nulla di difficile, ragazzuoli! Ma in caso di dubbi o di domande, aprite pure una discussione nel Forum e cercate tra le migliaia di problemi che abbiamo già risolto e spiegato. Wink

 

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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