Nucleo di un'applicazione lineare

Ci sono due capisaldi nello studio delle applicazioni lineari: il primo è il nucleo, del quale daremo la definizione tra un istante e per il quale mostreremo i principali risultati. Il secondo è l'immagine, e ce ne occuperemo nella prossima lezione.

 

Perché il nucleo di un'applicazione lineare F è importante? Perché ci dà un'informazione fondamentale sul comportamento dell'applicazione considerata: esso ci dice, infatti, quali elementi vengono mandati in zero mediante F.

 

Vogliamo essere più precisi? Sì, dai... ;)

 

Definizione di nucleo di un'applicazione lineare

 

Sia F:V\to W un'applicazione lineare definita tra spazi vettoriali su un campo \mathbb{K} (ad esempio \mathbb{R}). Definiamo il nucleo di F, e lo indichiamo con Ker(F)

 

Ker(F):=\{v\in V\mbox{ t.c. }F(v)=\underline{0}\in W\}

 

cioè come l'insieme degli elementi del dominio V che hanno immagine \underline{0} mediante F.

 

Esempi sul nucleo

 

1) Data l'identità di uno spazio vettoriale V, F=Id_V:V\to V, è immediato vedere che l'unico elemento appartenente al nucleo è lo zero di V.

 

 

2) Consideriamo F_A:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, applicazione lineare definita dalla matrice

 

A=\left[\begin{matrix}1 & 5\\ -3& 4\end{matrix}\right]

 

Il nucleo di Ker(F_A) è l'insieme dei vettori \underline{x}\in \mathbb{R}^2 dati dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

A\underline{x}=\underline{0}.

 

 

3) Prendiamo F:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2 data da

 

F(x,y,z,t)=[x+3z-t,x+y+z+t]

 

allora Ker(F)\subset \mathbb{R}^4 è il sottoinsieme di \mathbb{R}^4 dato da tutti i vettori [x,y,z,t] tali che

 

\begin{cases}x+3z-t=0\\ x+y+z+t=0\end{cases}

 

Principali teoremi sul nucleo di una applicazione lineare

 

Detta così, nuda e cruda, la definizione di nucleo sembra abbastanza fine a sé stessa. Non è così, vediamo perché...

 

Osservazione (il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio)

 

Il nucleo di F:V\to W non è solamente un insieme, ma anche un sottospazio vettoriale dello spazio su cui è definita F (ossia dello spazio su cui è definita F, ossia del dominio di F). Per vederlo è sufficiente sfruttare la linearità dell'applicazione F.

 

Supponiamo che v_1,v_2\in Ker(F): vogliamo mostrare che comunque presi a,b\in \mathbb{K} risulta che

 

av_1+bv_2\in Ker(F)

 

L'ipotesi v_1,v_2\in Ker(F) si traduce, per definizione di nucleo, in

 

F(v_1)=\underline{0}=F(v_2)

 

mentre la tesi equivale al fatto che

 

F(av_1+bv_2)=\underline{0}

 

ed è semplicissimo dimostrarne la validità. Essendo F lineare possiamo infatti scrivere

 

F(av_1+bv_2)=aF(v_1)+bF(v_2)=a\cdot \underline{0}+b\underline{0}=\underline{0}

 

e quindi F(av_1+bv_2)=\underline{0} e dunque (av_1+bv_2)\in Ker(F).

 

q.e.d.

 

Osservazione (sulla dimensione del nucleo):

 

va da sé che, essendo il nucleo un sottospazio di V, deve avere una dimensione dim(Ker(F)) compresa tra zero e dim(V):

 

0\leq dim(Ker(F))\leq dim(V)

 

Nei casi estremi abbiamo in particolare che

 

- se dim(Ker(F))=0, l'unico elemento v\in V tale per cui F(v)=\underline{0} è v=\underline{0}. Nel seguito vedremo un risultato (il teorema della Nullità più Rango, o teorema delle dimensioni) che nel caso di endomorfismi con nucleo banale ci permette di concludere che gli endomorfismi a nucleo nullo sono suriettivi.

 

- Se dim(Ker(F))=dim(V) allora necessariamente Ker(F)=V, e dunque F è l'applicazione identicamente nulla su V, ossia l'applicazione che associa ad ogni elemento di V lo zero di W.

 

Perché è importante studiare il nucleo?

 

Perché il nucleo di un'applicazione lineare ci permette di conoscere un'importante proprietà della stessa: conoscendo il nucleo possiamo stabilire in un secondo se l'applicazione data è iniettiva o meno. Tutto si basa sul seguente teorema, che fornisce una condizione necessaria e sufficiente per l'iniettività.

 

Teorema (applicazione lineare iniettiva se e solo se ha nucleo nullo):

 

Sia F:V\to W lineare. Allora F è iniettiva se e solo se Ker(F)=\{\underline{0}\}, cioè se e solo se F ha nucleo banale.

 

Dimostrazione: la trovi in questa D&R - dimostrare che un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo nullo.

 

 


 

In una lezione a parte mostreremo il procedimento per determinare la dimensione e una base del nucleo di una qualsiasi applicazione lineare. Nel frattempo, se dovessi avere dubbi o domande, non esitare e apri una discussione nel Forum, e cerca tra le migliaia e migliaia di discussioni e domande cui abbiamo risposto: tra tanti problemi già risolti, potrebbe esserci anche il tuo. Wink

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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