Immagine di un'applicazione lineare

Dopo aver introdotto il concetto di nucleo, ci occupiamo del secondo ingrediente più importante nel contesto della teoria delle funzioni lineari, vale a dire la nozione di immagine di un'applicazione lineare. In questo articolo vedremo la definizione di immagine e mostreremo i principali teoremi correlati.

 

Definizione di immagine di un'applicazione lineare

 

Sia F:V\to W tra spazi vettoriali definiti su un campo \mathbb{K} e lineare. Definiamo l'immagine dell'applicazione lineare F, e la indichiamo con Im(F) o Ran(F), il sottoinsieme del codominio Im(F)\subseteq W dato da

 

Im(F):=\{w\in W\mbox{ t.c. }\exists v\in V \mbox{ per cui }F(v)=w\}

 

Gli elementi dell'immagine di F sono cioè tutte le immagini degli elementi di V mediante F.

 

Esempi di immagini di applicazioni lineari

 

1) L'immagine dell'identità Id_V:V\to V, definita su un qualsiasi spazio vettoriale V, coincide con l'intero spazio

 

Im(Id_V)=V

 

 

2) Consideriamo la matrice quadrata di ordine 2 a coefficienti reali

 

A=\left[\begin{matrix}2& 4 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]

 

e prendiamo l'applicazione lineare definita da tale matrice: F_A:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2. Grazie al metodo che introdurremo nella lezione su dimensione e base dell'immagine, si vede immediatamente che

 

Im(F_A)=<\left[\begin{matrix}2\\ 1\end{matrix}\right]>

 

cioè che l'immagine di F_A è il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^2 generato dal vettore [2,1]^T. Anche senza conoscere il metodo descritto nella suddetta lezione, si capisce subito che l'immagine di F_A è data da tutti e soli i vettori che si ottengono dal prodotto matrice-vettore

 

Im(F_A)=\left\{\left[\begin{matrix}2& 4 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\ y\end{matrix}\right]\mbox{ con }\left[\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right]\in\mathbb{R}^2\right\}

 

 

3) Data F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4 definita in modo tale che

 

F(x,y,z)=(y+x,y+z,z-x,z)

 

allora Im(F) è il sottospazio di tutti i vettori di \mathbb{R}^4 della forma F(x,y,z)=(y+x,y+z,z-x,z) al variare di (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.

 

Teoremi sull'immagine di un'applicazione lineare

 

L'immagine Im(F) è solo un sottoinsieme del codominio di F, o è anche qualcosa di più? La risposta viene dal seguente

 

Teorema (l'immagine di un'applicazione lineare è un sottospazio)

 

Data un'applicazione lineare F:V\to W, l'immagine Im(F)\subseteq W è un sottospazio vettoriale del codominio W.

 

Dimostrazione: dobbiamo far vedere che Im(f) soddisfa le proprietà di spazio vettoriale. La verifica è semplice, e si basa interamente sulla linearità dell'applicazione F, infatti:

 

A) dati w_1,w_2\in Im(F), è vero che w_1+w_2\in Im(F) ?

 

Certamente, infatti dato che w_1,w_2 appartengono all'immagine, allora esistono per definizione v_1,v_2\in V tali che F(v_1)=w_1 e F(v_2)=w_2.

 

Ma allora

 

w_1+w_2=F(v_1)+F(v_2)=\mbox{ per linearità }=F(v_1+v_2)

 

e quindi w_1+w_2\in Im(F) perché è l'immagine di v_1+v_2 mediante F.

 

B) Dato w\in Im(F), e dato a\in \mathbb{K}, è vero che a w\in Im(F)?

 

Sì, infatti essendo w\in Im(F) esiste per definizione un v\in V tale che F(v)=w. Ma allora

 

aw=aF(v)=\mbox{ per linearità }=F(av)

 

e dunque aw è l'immagine di av mediante F.

 

q.e.d.

 

 


 

 

Nella lezione successiva ci occuperemo del metodo per determinare la dimensione e una base dell'immagine di una qualsiasi applicazione lineare; nel frattempo, sempre rimanendo nel contesto delle basi di spazi vettoriali, anticipiamo un importante risultato che riguarda le basi dell'immagine di un'applicazione lineare.

 

Teorema (Immagine degli elementi di una base del dominio)

 

Sia F:V\to W un'applicazione lineare, e supponiamo che \{v_1,...,v_n\}\subset V sia una base del dominio. Allora

 

\{F(v_1),...,F(v_n)\}\subset Im(F)

 

non è necessariamente una base dell'immagine di F, ma è sicuramente un sistema di generatori di Im(F).

 

Dimostrazione: come facciamo a dimostrare il precedente risultato? Non abbiamo molte informazioni da sfruttare, ma quelle poche che abbiamo bastano e avanzano. Sia w\in Im(F), per cui esiste un v\in V tale che F(v)=w.

 

Dato che v\in V, e dato che \{v_1,...,v_n\}\subset V è una base di V, possiamo rappresentare v sotto forma di combinazione lineare degli elementi della base data

 

v=a_1v_1+...+a_nv_n.

 

Applichiamo F ad entrambi i membri

 

F(v)=F(a_1v_1+...+a_nv_n)

 

e riscriviamo il secondo membro sfruttando la linearità di F

 

F(v)=a_1F(v_1)+...+a_nF(v_n)

 

ossia, essendo F(v)=w

 

w=a_1F(v_1)+...+a_nF(v_n).

 

L'arbitrarietà di w ci dice che possiamo generare un qualsiasi elemento di Im(F) mediante opportune combinazioni lineari di \{F(v_1),...,F(v_n)\}, dunque \{F(v_1),...,F(v_n)\} è un sistema di generatori dell'immagine.

 

q.e.d.

 

E perché non una base? Nulla ci assicura a priori che \{F(v_1),...,F(v_n)\} siano linearmente indipendenti - se lo fossero, costituirebbero sicuramente una base dell'immagine. Per provarlo è sufficiente considerare un controesempio, e a tal proposito vi rimandiamo alla lettura di questo topic:

 

L'immagine di una base è un sistema di generatori? No, in generale.

 

 


 

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