Matrice associata ad un'applicazione lineare

Capita molto spesso, agli esami scritti o orali di Algebra Lineare, di imbattersi in esercizi che richiedono di determinare la matrice associata ad una applicazione lineare T:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n.

 

La richiesta, in genere, consiste nello scrivere la matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio di T; in caso contrario, per determinare la matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi non canoniche, basterà rifarsi alla definizione di matrice associata che vedremo tra un istante.

 

Definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare

 

Siano V \ \mbox{e} \ W due spazi vettoriali di dimensione m ed n rispettivamente e sia T:V\to W un'applicazione lineare di V in W.

 

Siano inoltre B=\{v_1,v_2, \cdots, v_m\} una base dello spazio vettoriale V e C=\{w_1, w_2, \cdots w_n\} una base di W.

 

Per ogni vettore v_i (della base B dello spazio vettoriale V) determiniamo la corrispondente immagine tramite l'applicazione lineare T. Determiniamo cioè T(v_1),T(v_2),...,T(v_m).

 

I nuovi vettori così ottenuti saranno elementi dello spazio vettoriale W e potranno quindi essere scritti come combinazione lineare degli elementi w_1,w_2,...,w_n che formano la base C dello spazio W. Si ha quindi:

 

T(v_1)=a_{11}w_1 + a_{21}w_2 + \cdots + a_{n1}w_n

 

T(v_2)=a_{12}w_1 + a_{22}w_2 + \cdots + a_{n2}w_n

 

...............

 

T(v_m)=a_{1m}w_1 + a_{2m}w_2 + \cdots + a_{nm}w_n

 

La matrice:

 

A_T^{B,C}=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{matrix}\right] \in \mathbb{R}^{n,m}

 

si dice matrice associata all'applicazione lineare T rispetto alle basi B e C.

 

 

In altri termini, la matrice associata ad un'applicazione lineare T:V \to W rispetto alle basi \{v_1,v_2,\cdots, v_m\} di V e \{w_1, w_2, \cdots, w_n\} di W è quella matrice che ha per j-esima colonna il vettore delle coordinate dell'immagine T(v_j) rispetto alla base di W.

 

Come determinare la matrice associata ad un'applicazione lineare 

 

La definizione di matrice associata vista in precedenza fornisce, tra le righe, il metodo generale per determinare la matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi qualsiasi.

 

Facciamo subito un esempio: sia

 

T: \underbrace{\mathbb{R}^3}_{V} \to \underbrace{\mathbb{R}^2}_{W}

 

l'applicazione lineare definita come segue:

 

T(x,y,z)=(x+y,z)

 

Vogliamo trovare la matrice associata a tale applicazione lineare rispetto alle basi

 

B=\{\underbrace{(1,0,1)}_{v_1}, \ \underbrace{(1,0,0)}_{v_2}, \ \underbrace{(1,1,1)}_{v_3} \} \ \mbox{di} \ \mathbb{R}^3

 

C=\{\underbrace{(0,1)}_{w_1}, \ \underbrace{(1,1)}_{w_2},\} \ \mbox{di} \ \mathbb{R}^2

 

Procediamo: troviamo innanzitutto le immagini T(v_1), \ T(v_2), \ T(v_3) dei vettori della base B tramite l'applicazione lineare:

 

T(v_1)=T(1,0,1)=(1,1)

 

T(v_2)=T(1,0,0)=(1,0)

 

T(v_3)=T(1,1,1)=(2,1)

 

Scriviamo i vettori immagine appena scritti come combinazione lineare dei vettori della base C.

 

T(v_1)=T(1,0,1)=(1,1) = \underbrace{0}_{a_{11}} \cdot \underbrace{(0,1)}_{w_1} + \underbrace{1}_{a_{21}} \cdot \underbrace{(1,1)}_{w_2}

 

T(v_2)=T(1,0,0)=(1,0) = \underbrace{-1}_{a_{12}} \cdot \underbrace{(0,1)}_{w_1} + \underbrace{1}_{a_{22}} \cdot \underbrace{(1,1)}_{w_2}

 

T(v_3)=T(1,1,1)=(2,1) = \underbrace{-1}_{a_{13}} \cdot \underbrace{(0,1)}_{w_1} + \underbrace{2}_{a_{23}} \cdot \underbrace{(1,1)}_{w_2}

 

Di conseguenza la matrice associata all'applicazione lineare T rispetto alle basi B e C sarà

 

A_T^{B,C}=\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}\right] 

 

Tutto qui Wink

 

 


 

 

Una considerazione di natura pratica: negli esercizi capita spesso e volentieri di dover lavorare con le basi canoniche, quindi da qui in poi faremo riferimento solo alla base canonica.

 

Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche

 

Ci sono essenzialmente due modi in cui vengono proposti gli esercizi sul calcolo della matrice associata, e che sono strettamente legati alla definizione della specifica applicazione lineare che il testo propone. Un'applicazione lineare, in generale, può infatti essere definita mediante:

 

1) un vettore delle coordinate della generica immagine;

 

2) le immagini di alcuni vettori del dominio.

 

In ciascuno dei due casi si dovrà ricorrere a due diversi metodi, che dal punto di vista teorico coincidono, ma non dal punto di vista pratico, e dunque...Laughing

 

Matrice associata a partire dalla generica immagine

 

Supponiamo che il testo dell'esercizio ci dia un'applicazione lineare definita mediante l'immagine del vettore delle incognite, ad esempio T:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n con un vettore del tipo

 

T(x_1,x_2,...,x_m)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1m}x_m\mbox{, }...\mbox{, }a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nm}x_m)

 

In tal caso la matrice rappresentativa di T rispetto alle basi canoniche è servita su un piatto d'argento. Dobbiamo solo ricordare che, per definizione, la matrice associata ad una applicazione lineare T:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio è una matrice A_T\in Mat(n,m,\mathbb{R}) tale che

 

A_T\underline{x}=T\underline{x}

 

Dunque ogni componente del vettore T\underline{x}, diciamo l'i-esima, è data dal prodotto riga per colonna tra la i-esima riga di A_T e il vettore colonna \underline{x} di \mathbb{R}^m. Si vede subito che la matrice A_T ha componenti 

 

A_T=\left[\begin{matrix}a_{11}& a_{12}& ... & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& ... & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \cdot & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& ... & a_{nm}\end{matrix}\right]

 

Per convincersene è sufficiente calcolare il prodotto matrice-vettore A\underline{x}: il risultato è proprio il vettore colonna T\underline{x}.

 

 

Esempio


Vogliamo trovare la matrice rappresentativa (rispetto alle basi canoniche) dell'applicazione lineare definita da

 

T(x,y,z)=(2x+3y-z,4x+27y-5z)

 

Ragionando secondo la logica vista in precedenza, e dunque facendo riferimento al prodotto riga per colonna, la matrice associata a T è

 

A_T=\left[\begin{matrix}2& 3 & -1\\ 4 & 27 & -5\end{matrix}\right]

 

Infatti

 

A_T\underline{x}=\left[\begin{matrix}2& 3 & -1\\ 4 & 27 & -5\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\ y\\ z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2x+3y-z\\ 4x+27y-5z\end{matrix}\right]

 

Come potete notare, se si lavora con le basi canoniche, trovare la matrice associata è molto più semplice rispetto al caso delle basi non canoniche.

 

Matrice associata a partire da determinati vettori


Un caso che si presenta altrettanto di frequente consiste nell'avere un'applicazione lineare T:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n definita mediante le immagini di m vettori linearmente indipendenti, o eventualmente di più di m vettori linearmente indipendenti.

 

Supponiamo, per fissare le idee, di avere m vettori in coordinate riferite alla base canonica e linearmente indipendenti \{v_1,v_2,...,v_m\}, e di conoscere le immagini \{T(v_1),T(v_2),...,T(v_m)\}.

 

Tutti questi vettori si intendono (è importante, lo ripetiamo) scritti in coordinate relative alle basi canoniche. Questo tipo di esercizi richiede un po' più di attenzione...

 

 

Obiettivo: determinare le immagini T(e_1),T(e_2),...,T(e_m) dei vettori della base canonica del dominio.

 

 

Perché questo obiettivo? Perché conoscendo le immagini dei vettori della base canonica, che immaginiamo come vettori colonna, possiamo scrivere immediatamente la matrice associata all'applicazione lineare. È infatti sufficiente disporre per colonna i vettori immagine (degli elementi della base canonica del dominio) per avere la matrice associata!

 

A_T=[T(e_1)\ T(e_2)\ ... \ T(e_m)]

 

 

Come raggiungere lo scopo: basta sfruttare la linearità dell'applicazione lineare T. Ricordiamo che, dati v,w\in\mathbb{R}^m e \alpha,\beta\in\mathbb{R}, risulta

 

T(\alpha v+\beta w)=\alpha T(v)+\beta T(w)

 

dobbiamo individuare opportune combinazioni lineari dei vettori v_1,v_2,...,v_m che ci permettano di ricavare i vettori della base canonica e_1,e_2,...,e_m. Ad esempio:

 

e_i=a_{1i}v_1+a_{2i}v_2+...+a_{mi}v_m

 

Con un'espressione del genere potremmo sfruttare comodamente la linearità di T e le immagini T(v_1),T(v_2),...,T(v_m), infatti basterebe osservare che

 

T(e_i)=T(a_{1i}v_1+a_{2i}v_2+...+a_{mi}v_m)=^{\mbox{linearità}}=a_{1i}T(v_1)+...a_{mi}T(v_m)

 

In sintesi, individuando opportune combinazioni lineari dei \{v_i\}_i siamo in grado di ricostruire i vettori della base canonica \{e_i\}_i, proprio perché nella nostra ipotesi i \{v_i\}_i sono m vettori linearmente indipendenti.

 

 

Esempio

 

Calcoliamo la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare T: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 tale che:

 

T(1,1,1)=(0,2,1)

 

T(1,0,1)=(1,1,1)

 

T(0,0,4)=(8,12,0)

 

Se riusciamo a determinare T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1) siamo a cavallo.

 

Per prima cosa osserviamo che

 

(0,0,4)=4(0,0,1)

 

dunque abbiamo subito l'immagine del terzo elemento della base canonica di \mathbb{R}^3, perché

 

T(0,0,4)=4T(0,0,1)\Rightarrow T(0,0,1)=\frac{1}{4}T(0,0,4)=\frac{1}{4}(8,12,0)=(2,3,0)

 

Per ricavare T(0,1,0), ci basta considerare la differenza (1,1,1)-(1,0,1), per cui

 

T(0,1,0)=T((1,1,1)-(1,0,1))=T(1,1,1)-T(1,0,1)=(0,2,1)-(1,1,1)=(-1,1,0)

 

Infine, per determinare T(1,0,0), possiamo usare i risultati appena ottenuti e osservare che

 

(1,0,0)=(1,1,1)-(0,1,0)-(0,0,1)

 

dunque

 

T(1,0,0)=T((1,1,1)-(0,1,0)-(0,0,1))=T(1,1,1)-T(0,1,0)-T(0,0,1)=(0,2,1)-(-1,1,0)-(2,3,0)

 

e concludiamo che T(1,0,0)=(-1,-2,1). La matrice associata all'applicazione T e riferita alle basi canoniche è

 

A_T=\left[\begin{matrix}-1& -1 & 2\\ -2 & 1 & 3\\ 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]

 

 


 

Abbiamo finito! Se dovessi avere dubbi o domande, apri una discussione nel Forum, e se vuoi vedere un po' di esercizi non devi fare altro che effettuare un paio di ricerche qui su YM (aiutati con l'apposita barra). Abbiamo spiegato e risolto mille e millemila esercizi sulle matrici rappresentativa...Laughing

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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