Operazioni tra monomi

Le operazioni tra monomi sono le principali operazioni algebriche (somma, sottrazione, prodotto, divisione, elevamento a potenza) riferite al calcolo letterale con i monomi.

 

Nella precedente lezione abbiamo gettato le basi teoriche e proposto tutte le definizioni; ora che abbiamo spiegato cosa sono i monomi passiamo alla pratica e vediamo le regole per svolgere le principali operazioni con i monomi.

 

Come svolgere le operazioni con i monomi

 

Le operazioni tra monomi su cui ci concentreremo sono le seguenti:

 

1) somma di monomi;

2) moltiplicazione tra monomi;

3) potenza di un monomio;

4) divisione tra monomi.

 

Per ciascuna di esse presenteremo la regola di calcolo corredata da un esempio e da un ulteriore approfondimento.

 

Somma di monomi

 

Diciamo sin da subito che è possibile sommare solamente monomi simili. In particolare la somma di monomi simili è un monomio che ha

 

- come coefficiente numerico: la somma dei coefficienti numerici dei monomi della somma;

 

- come parte letterale: la stessa parte letterale dei monomi di partenza.

 

Se i monomi non sono simili non è possibile effettuare la somma e lasceremo gli addendi così come sono scritti.

 

 

Esempio

 

x y + 3 x y + \frac{1}{2} x y - 2 x y

 

I monomi che compongono l'espressione sono simili perché hanno tutti la stessa parte letterale, quindi possiamo sommare i coefficienti numerici:

 

\left(1+ 3 + \frac{1}{2}-2\right\) x y

 

Effettuiamo le operazioni dentro la parentesi e otteniamo

 

\left(\frac{2+6+1-4}{2}\right)x y= \frac{5}{2} x y

 

Facile, no? :) Ripetiamo ancora una volta la somma tra due monomi è possibile se e solo se i monomi sono simili, in caso contrario i termini rimarranno così come sono.

 

Se volete approfondire e per consultare altri esempi, potete leggere qui: somma e differenza di monomi.

 

Prodotto tra monomi

 

A differenza della somma, il prodotto tra monomi è sempre possibile. Moltiplicare due monomi tra loro vuol dire prendere il monomio che ha:

 

- coefficiente numerico dato dal prodotto dei coefficienti numerici;

 

- parte letterale data da tutte le lettere dei singoli monomi, ciascuna con esponente uguale alla somma degli esponenti delle singole lettere.

 

La moltiplicazione tra monomi è più difficile a dirsi che a farsi, fidatevi! ;)

 

 

Esempio

 

2x^3 y \cdot 3 x y^2 z

 

Il monomio prodotto ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti 

 

2 x^3 y\cdot 3 x y^2 z = 2\times 3 ...= 6...

 

Ora calcoliamo la parte letterale del monomio prodotto. Essa conterrà sicuramente le lettere x, y, z, ma noi siamo interessati anche agli esponenti:

 

2 x^3y \cdot 3 x y^2 z= 6 x^{?}y^{?}z^{?}

 

Cosa dobbiamo mettere al posto dei punti interrogativi? L'esponente della lettera x è data dalla somma dell'esponente della x presente nel primo fattore e la x nel secondo fattore, quindi 3+1= 4

 

2 x^3y \cdot 3 x y^2 z= 6 x^{4}y^{?}z^{?}

 

La lettera y ha esponente 1+2=3 dove 1 e 2  sono rispettivamente l'esponente della lettera y presente nel primo fattore e secondo fattore

 

2 x^3y \cdot 3 x y^2 z= 6 x^{4}y^{3}z^{?}

 

L'esponente di z è dato da 0+1=1 dove 0 e 1 sono gli esponenti della z nel primo e nel secondo monomio fattore

 

2 x^3y \cdot 3 x y^2 z= 6 x^{4}y^{3}z^{1}= 6 x^4 y^3 z

 

A ben vedere non abbiamo fatto nulla di particolare, infatti abbiamo solamenteapplicato le proprietà delle potenze.

 

Anche in questo caso se volete vedere altri esempi sul prodotto di monomi potete dare un'occhiata alla pagina del link.

 

Potenza di un monomio

 

Per elevare alla potenza n-esima un monomio bisogna elevare a potenza il coefficiente e moltiplicare per n gli esponenti dei fattori letterali. In pratica si tratta di usare la proprietà per le potenze di potenze.

 

 

Esempio

 

(-2 x^2 y z)^2= (-2)^2 x^{2\cdot 2} y^{1\cdot 2}z^{1\cdot 2}= 4x^4 y^2z^2.

 

Per altri esempi sulle potenze di monomi - click!

 

Divisione tra monomi

 

La divisione tra monomi è leggermente più complicata rispetto alle operazioni che abbiamo descritto finora, perché richiede la condizione di divisibilità tra monomi.

 

Un monomio (dividendo) si dice divisibile per un secondo monomio (divisore) se esiste un ulteriore monomio (quoziente) che moltiplicato per il secondo dà il primo.

 

Con tale ipotesi possiamo definire la divisione tra due monomi divisibili e diversi da zero. Esso è un monomio che ha:

 

- coefficiente numerico dato dal quoziente dei coefficienti numerici;

 

- parte letterale data dal rapporto delle lettere omonime tra loro. Per gli esponenti ci si comporta ancora una volta applicando le proprietà delle potenze.

 

 

Esempio

 

3 x^3 y^2 z: 3 x y^2 

 

La parte letterale del monomio quoziente è 3:3=1, mentre la parte letterale si ricava nel modo seguente:

 

3 x^3 y^2 z: 3 x y^2=  x^{3-1} y^{2-2} z^{1-0}=  x^2 y^0 z= x^2 z.

 

Per approfondire, e per vedere nel dettaglio in cosa consiste la condizione di divisibilità tra due monomi, potete leggere la pagina sulla divisione tra monomi.

 

 


 

Per il momento è tutto. Nella prossima lezione vedremo come calcolare MCD e mcm di monomi, nel frattempo potete mettervi alla prova con gli esercizi svolti della scheda correlata. ;)

 

 

A presto!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati............Lezione successiva


Tags: operazioni tra monomi - somma di monomi - differenza di monomi - prodotto di monomi - divisione tra monomi.